§. El caos como salud
Hay ahora fisiólogos que hablan de enfermedades dinámicas, consistentes en desórdenes de sistemas y en rupturas de coordinación o de control. Una manera de formularlo es: «Sistemas que por lo general oscilan, dejan de hacerlo o lo hacen de modo nuevo e inesperado, y otros, que no acostumbran oscilar, se ponen a hacerlo». Esos síndromes incluyen trastornos respiratorios, tales como jadeos, respiraciones audibles, respiración de Cheyne-Stokes y apnea infantil, relacionada con el de la muerte súbita en la infancia. Hay desórdenes dinámicos de la sangre, entre ellos un género de leucemia en que los desequilibrios alteran el equilibrio de los leucocitos, glóbulos rojos, plaquetas y linfocitos. Algunos científicos especulan que la esquizofrenia y ciertas depresiones pueden pertenecer a esta categoría.
Hay fisiólogos que se inclinan a concebir el caos como salud. Se reconoce, desde hace bastante tiempo, que la no linealidad en los procesos de realimentación sirve para regular y controlar. Dicho escuetamente: el proceso lineal que reciba un empujoncillo tiende a permanecer una pizca alejado de la trayectoria ordinaria; y otro no lineal, con idéntico empujón, propende a retornar al punto de partida. Christian Huygens, físico holandés del siglo XVII, que contribuyó a inventar el reloj de péndulo y la ciencia de la dinámica clásica, dio por casualidad con uno de los grandes ejemplos de esta forma de regulación, o al menos así se cuenta tradicionalmente. Notó un día que un juego de relojes, adosado a una pared, se movían con la sincronización perfecta de coristas bien adiestradas. Sabía que los cronómetros no podían ser tan precisos. La descripción matemática del péndulo de que entonces se disponía no explicaba aquella misteriosa propagación del orden de un péndulo a otro. Huygens coligió correctamente que los relojes se coordinaban con las vibraciones transmitidas por la madera. Este fenómeno, en que un ciclo regular se acopla a otro, se llama arrastre o simpatía. Explica por qué la Luna siempre mira hacia la Tierra o, de modo más general, los satélites artificiales se inclinan a girar en alguna razón de número entero de su período orbital: 1 a 1, 2 a 1 o 3 a 2. Cuando la razón se aproxima a un número entero, la no linealidad de la atracción de marea del satélite tiende a arrastrarlo. Este fenómeno se presenta en toda la electrónica, y hace posible, por ejemplo, que un receptor de radio capte señales incluso cuando su frecuencia encierra pequeñas fluctuaciones. También explica la capacidad de grupos de osciladores, incluyendo los biológicos, como las células cardíacas y encefálicas, para actuar sincronizadamente. Una muestra espectacular de ello en la naturaleza es una luciérnaga del sudeste de Asia, la cual se congrega a millares en los árboles durante el período de reproducción, parpadeando en fantástica armonía espectral.
Con todos esos fenómenos de control, la robustez adquiere importancia crítica: lo bien que un sistema pueda soportar pequeñas sacudidas. Y, en los biológicos, la flexibilidad: cuán bien funciona un sistema en una gama de frecuencias. El arrastre en un solo modo puede convertirse en esclavitud, impidiendo que un sistema se adapte al cambio. Los organismos han de reaccionar a circunstancias que varían rápidamente y sin concierto; ningún ritmo cardíaco o respiratorio queda incluido en las periodicidades estrictas del modelo físico más sencillo, y lo mismo tiene validez en cuanto a los ritmos más sutiles del resto del cuerpo. Algunos investigadores, como Ary Goldberger de la Harvard Medical School, propusieron que la dinámica sana o robusta estaba marcada por estructuras físicas fractales, como las ramificaciones de los tubos bronquiales en el pulmón, y las fibras rectoras del corazón, que permiten una amplia serie de ritmos. Pensando en los argumentos de Robert Shaw, Goldberger notó: «Los procesos fractales asociados con espectros escalares y de banda amplia son “ricos en información”. Los estados periódicos, en cambio, reflejan espectros de banda estrecha y los definen secuencias monótonas, reiterativas, vacías de contenido informador». Tratar aquellos desórdenes, apuntaron tanto él como otros fisiólogos, tal vez dependiese de ampliar la reserva espectral de un sistema, de su posibilidad de recorrer muchas frecuencias sin caer en un canal cerrado periódico.
Arnold Mandell, el psiquiatra y estudioso de la dinámica de San Diego, que defendió a Bernardo Huberman en el caso del movimiento ocular en la esquizofrenia, fue mucho más allá sobre la intervención del caos en la fisiología.
— ¿Será posible que la patología matemática, esto es, el caos, sea salud? ¿Y la salud matemática, que es la predectibilidad y lo diferenciador en este género de estructura, sea enfermedad?
Mandell había recurrido al caos, en la temprana fecha de 1977, cuando halló «comportamiento peculiar» en ciertos enzimas del cerebro, que sólo podía interpretarse conforme a los métodos nuevos de la matemática no lineal. Había alentado con frases semejantes el estudio de las marañas oscilantes tridimensionales de moléculas proteínicas; en vez de dibujar estructuras estáticas, afirmó, los biólogos debían entender aquellas moléculas como sistemas dinámicos, capaces de transiciones de fase. Era, como expresó, fanático entusiasta, y su interés primordial se centró en el órgano más caótico.
Armonías caóticas.
La acción recíproca de diferentes ritmos, tales como las frecuencias de radio o las órbitas planetarias, produce una versión especial del caos. Imágenes de ordenador de algunos «atractores» que aparecen en ocasiones cuando tres ritmos coinciden.
Flujos caóticos.
Cuando se introduce una vara en un fluido viscoso, se genera una forma ondulada sencilla. Si la introducción se repite varias veces, aparecen formas más complicadas.
—En biología, se llega al equilibrio con la muerte —dijo—. Cuando os pregunto si vuestro cerebro es un sistema en equilibrio, lo mejor que puedo hacer es ordenaros que no penséis en elefantes durante unos minutos, y entonces sabréis que no es un sistema equilibrado.
En opinión de Mandell, los descubrimientos del caos imponen un cambio en el tratamiento clínico de los trastornos psiquiátricos. Desde el punto de vista objetivo, la acción moderna de la «psicofarmacología» —el empleo de fármacos para tratar todo, desde la ansiedad y el insomnio a la esquizofrenia— tiene que declararse un fracaso. Pocos pacientes —aceptando que lo hagan— se curan. Las manifestaciones más violentas de la enfermedad mental se moderan, pero nadie sabe con qué consecuencias a largo plazo. Mandell ofreció a sus colegas una evaluación escalofriante de las medicinas más utilizadas. Las fenotiazinas, recetadas a los esquizofrénicos, empeoran el trastorno fundamental. Los antidepresivos tricíclicos «aumentan la velocidad del ciclo de los estados de ánimo, y conduce a incrementos a largo plazo del número de recaídas psicopatológicas». Etcétera. Sólo el litio había proporcionado éxitos médicos, indicó Mandell; pero únicamente en el cuidado de determinados trastornos.
En su criterio, el problema era conceptual. Los métodos clásicos para tratar aquella «máquina inestabilísima, dinámica y de infinitas dimensiones» eran lineales y reduccionistas. «El paradigma subyacente es aún: un gen → un péptido → un enzima → un neurotransmisor → un receptor → un comportamiento animal → un síndrome clínico → un fármaco → una escala clínica de clasificación. Señorea en casi toda investigación y tratamiento de la psicofarmacología. Más de cincuenta transmisores, miles de tipos celulares, complicada fenomenología electromagnética e inestabilidad continua, basada en actividad autónoma en todos los niveles, desde las proteínas hasta el electroencefalograma…, y, sin embargo, el cerebro se concibe aún como un cuadro de distribución química». Alguien, expuesto al mundo de la dinámica no lineal, sólo podía dar una contestación: ¡Cuán ingenuos! Mandell instó a sus colegas a que procurasen comprender las móviles geometrías que sustentan sistemas tan complicados como la mente.
Muchos otros científicos emprendieron la aplicación de los formalismos del caos a la investigación de la inteligencia artificial. La dinámica de sistemas que vagaban entre cuencas de atracción, por ejemplo, atrajo a quienes buscaban la forma de establecer modelos de símbolos y recuerdos. El físico que pensara en las ideas como regiones de límites imprecisos, separadas, aunque coincidentes, atrayendo como imanes y, al mismo tiempo, dejando ir, recurriría naturalmente a la imagen de un espacio de fases con «cuencas de atracción». Tales modelos parecían tener los rasgos idóneos: puntos de estabilidad mezclados con inestabilidad, y regiones de límites mutables. Su estructura fractal ofrecía la clase de cualidad de autorreferencia infinita que posee, al parecer, importancia tan esencial en la capacidad de la mente para florecer en ideas, decisiones, emociones y demás elementos de la consciencia. Con el caos o sin él, los científicos cognoscitivos honestos no pueden establecer ya un modelo de la mente como una estructura estática. Reconocen una jerarquía de escalas, desde la neurona en adelante, que brinda la oportunidad al juego recíproco de macroescalas y microescalas, tan peculiar de la turbulencia fluida y de otros procesos dinámicos complejos.
Pauta nacida en lo informe: ésa es la belleza fundamental de la biología y su misterio básico. La vida succiona orden de un océano de desorden. Erwin Schrödinger, pionero de la teoría cuántica y uno de los físicos que efectuaron incursiones de aficionado en la especulación biológica, lo expresó así hace cuarenta años: Un organismo vivo tiene el «asombroso don de concentrar una “corriente de orden” en sí mismo y se libra de esa suerte de decaer en el caos atómico». Parecía evidente a Schrödinger, como físico, que la estructura de la materia viva se diferenciaba de la que estudiaban sus colegas. La piedra angular de la vida —todavía no se llamaba ADN— era un cristal aperiódico. «Hasta ahora hemos tratado en física sólo con cristales periódicos. Para la mente de un físico humilde, son objetos interesantísimos y complicados; representan una de las estructuras materiales más fascinadoras y complicadas con que la naturaleza inanimada confunde su ingenio. No obstante, comparados con el cristal aperiódico, frisan en lo manifiesto e insulso». Se diferenciaban como el papel de pared y el tapiz, como la repetición insistente de un motivo y la variación fastuosa y coherente de la creación de un artista. Los físicos habían aprendido a comprender sólo el papel de pared. Por lo tanto, no maravillaba que hubiesen contribuido tan poco al progreso de la biología.
La opinión de Schrödinger se salía de lo habitual. Que la vida era a la vez ordenada y complicada equivalía a repetir una perogrullada; ver la aperiodicidad como fuente de sus cualidades especiales bordeaba lo místico. En aquella época ni los matemáticos ni los físicos proporcionaron apoyo a la idea. No había instrumentos idóneos para analizar la irregularidad como elemento constitutivo de la vida. Ahora se dispone de ellos.
Capítulo 11
El caos y allende
Aquí se intenta nada menos que la clasificación
de los ingredientes de un caos.
HERMAN MELVILLE,
Moby Dick
Contenido:
§. Nuevas creencias, nuevas definiciones
§. La segunda ley, el rompecabezas del copo de nieve y el dado cargado§. Oportunidad y necesidad
§. Nuevas creencias, nuevas definiciones
Hace veinte años Edward Lorenz reflexionaba sobre la atmósfera, Michel Hénon sobre las estrellas y Robert May sobre el equilibrio de la naturaleza. Benoît Mandelbrot era un matemático desconocido de la IBM, Mitchell Feigenbaum un estudiante no graduado del City College neoyorquino y Doyne Farmer un muchacho que crecía en Nuevo México. La inmensa mayoría de los científicos practicantes compartía un cuerpo de creencias acerca de la complejidad. Y creían en ellas con tanta fe, que no necesitaban expresarlas verbalmente. Sólo más tarde fue posible decir qué eran y someterlas a examen.Los sistemas simples se comportan de manera simple. Un artilugio mecánico como el péndulo, un pequeño circuito eléctrico o una población idealizada de peces en un estanque… Mientras estos sistemas pudieran reducirse a unas pocas leyes, bien entendidas y totalmente deterministas, su conducta a largo plazo sería estable y predecible.
El comportamiento complejo implica causas complejas. Un aparato mecánico, un circuito eléctrico, una población de animales en libertad, una corriente fluida, un haz de partículas, una tormenta, una economía nacional, en fin, cualquier sistema visiblemente inestable, impredecible o anárquico, tenía que obedecer a multitud de componentes independientes o estar sometido a influencias externas esclavas del azar.
Diferentes sistemas se comportan de manera distinta. El neurobiólogo que dedicaba su carrera a estudiar la química de las neuronas humanas, sin saber algo de la memoria o la percepción; el diseñador aeronáutico que utilizaba los túneles de pruebas para solventar problemas aerodinámicos, sin entender la matemática de las turbulencias; el economista que analizaba la psicología de las decisiones de compra, sin adquirir la destreza de pronosticar las tendencias a largo plazo, todos esos científicos y muchos más, convencidos de que los componentes de sus disciplinas eran diferentes, aceptaban como cosa lógica que habían de ser asimismo distintos los sistemas complicados, consistentes en miles de millones de esos componentes.
Ahora bien, eso ha cambiado en la actualidad. En veinte años, físicos, matemáticos, biólogos y astrónomos han establecido ideas variantes, sustitutivas. Los sistemas simples motivan comportamiento complejo. Los sistemas complicados causan comportamiento sencillo. Y, lo que es más importante, las leyes de la complejidad tienen validez universal, y se despreocupan de los detalles de los átomos constitutivos de un sistema.
El cambio no tuvo trascendencia inmediata para la multitud de científicos practicantes, fuesen físicos atómicos, neurólogos o matemáticos. Siguieron trabajando en las cuestiones que les planteaba la investigación en el seno de sus disciplinas. Pero sabían de algo llamado caos, y que algunos difíciles fenómenos habían sido explicados, y que de pronto otros parecían exigir nuevas explicaciones. Quien estudiaba las reacciones químicas en el laboratorio, las poblaciones de insectos en un experimento de campo, en el término de tres años, o las variaciones de las temperaturas oceánicas, no podía justificar del modo tradicional la presencia de fluctuaciones u oscilaciones inesperadas, es decir, ignorándolas. Para algunos aquello representó quebraderos de cabeza. Por otra parte, desde el punto de vista práctico, estaban al corriente de que había dinero del gobierno federal y de las industrias para facilitar la investigación de aquella ciencia de índole vagamente matemática. Creció en ellos la comprensión de que el caos ofrecía una forma reciente de manejar antiguos datos, olvidados en los cajones del escritorio, porque eran demasiado caprichosos e incoherentes. Pensaron cada vez con más convicción que el encajonamiento estanco de la ciencia oponía un obstáculo a su labor. Percibieron con acuidad que, con el decurso del tiempo, se intensificaba la inutilidad de estudiar las partes, haciendo salvedad del todo. Para ellos el caos era la desaparición del programa reduccionista en la ciencia.
Incomprensión; resistencia; enojo; aceptación. Quienes más habían luchado en favor de la causa del caos sufrieron todo aquello. Joseph Ford, del Georgia Institute of Technology, recordó que había dado una conferencia, en la década de 1970, a un grupo de especialistas en termodinámica, durante la cual mencionó que había comportamiento caótico en la ecuación de Duffing, modelo, bien conocido en los libros de texto, de un oscilador sencillo sometido a fricción. La existencia de caos en aquella ecuación era para Ford algo curioso, una de las cosas que sabía que eran ciertas, aunque transcurrieron varios años antes de que se proclamase en Physical Review Letters. Fue como si hubiese afirmado a una cohorte de paleontólogos que los dinosaurios tenían plumas.
— ¿Qué pasó cuando dije aquello? ¡Santo cielo! Los presentes se pusieron a brincar. Todo fue: «Mi papá se divirtió con la ecuación de Duffing, y mi abuelito se divirtió con la ecuación de Duffing, y nadie, ¡nadie!, encontró eso de lo que usted habla». Esperaba que se opusieran a la noción de que la naturaleza es complicada. Lo que no entendí fue tanta hostilidad.
Cómodamente instalado en su oficina de Atlanta, mientras el sol invernal agonizaba en el exterior, Ford bebía gaseosa en una jarra descomunal, en la que se había pintado, con brillantes colores, la palabra «caos». Su colega Ronald Fox, más joven, narró su conversión, poco después de haber comprado para su hijo un ordenador Apple II, en una época en que el físico que se respetase no adquiría tales máquinas para trabajar con ellas. Había oído que Mitchell Feigenbaum había descubierto leyes universales, que guiaban el comportamiento de las funciones de realimentación, y decidió escribir un programa corto para contemplar el comportamiento en la pantalla del Apple. Lo vio plasmado en ella: bifurcaciones en forma de horca y líneas estables que se rompían en dos, luego en cuatro y después en ocho; aparición del mismísimo caos y, dentro de él, asombrosa regularidad geométrica.
—En un par de días, se rehace todo lo de Feigenbaum —aseveró Fox.
Algunos científicos jugaron con aquellos programas durante cierto tiempo y los abandonaron. Otros no resistieron su atractivo. Fox perteneció a los que, teniendo conciencia de los límites de la ciencia lineal clásica, no los olvidaron. Sabía que se había acostumbrado a eliminar los problemas difíciles no lineales. El físico, en la práctica, acaba siempre por decir: He aquí una cuestión que me llevará al manual de las funciones especiales, que es el último lugar al que deseo ir, y estoy tan seguro como que he de morir que no recurriré a una máquina. Soy demasiado refinado para hacerlo.
—La imagen general de la no linealidad llamó la atención a mucha gente, despacio al principio y luego con rapidez progresiva —dijo Fox—. Todos los que la miraban obtenían algún fruto. Ahora volvemos a los problemas encontrados, cualesquiera que sean las ciencias que cultivemos. Hubo un punto en que renunciamos, porque se volvían no lineales. Al presente, sabemos cómo examinarlos, y por eso los rescatamos del olvido.
»Si un área crece de pronto, hay que atribuirlo a que un núcleo de personas siente que les ofrecerá algo, o que, si modifican sus investigaciones, serán muy bien recompensadas. El caos es para mí sueño. Promete que, si se entra en el juego, tal vez se haga saltar la banca.
No obstante, no hubo coincidencia de pareceres en cuanto al nombre y la definición que había que darle.
Philip Holmes, barbicano matemático y poeta de Cornell, procedente de Oxford: Las complicadas, aperiódicas y atractivas órbitas de ciertos sistemas dinámicos (por lo común hipo dimensionales).
Hao Bai-Lin, físico de China, que coleccionó muchos artículos históricos sobre el caos en un volumen de consulta: Una especie de orden sin periodicidad. Y: Campo de investigación que se extiende con rapidez y en el que matemáticos, físicos, hidrodinámicos, ecólogos y muchos otros han efectuado importantes contribuciones. Y: Clase ubicua y recientemente reconocida de fenómenos naturales.
H. Bruce Stewart, experto en matemáticas aplicadas en el Brookhaven National Laboratory (Laboratorio Nacional de Brookhaven) de Long Island: Comportamiento recurrente y, en apariencia, debido al azar en un sistema determinista simple (de regularidad semejante a la de un reloj).
Roderick V. Jensen, de la Universidad de Yale, físico teórico que explora la posibilidad del caos cuántico: El comportamiento irregular, imprevisible, de sistemas dinámicos deterministas no lineales.
James Crutchfield, del colectivo de Santa Cruz: Dinámica con entropía métrica positiva, pero finita. La traducción matemática es: Comportamiento que produce información (amplía pequeñas incertidumbres), pero que no es absolutamente impredecible.
Y Ford, que se proclama apóstol del caos: Dinámica libre al fin de las cadenas de orden y predectibilidad… Sistemas liberados para explorar al azar cada una de sus posibilidades dinámicas… Estimulante variedad, riqueza de elección, plétora de oportunidades.
John Hubbard, al examinar las funciones iterativas y la infinita frondosidad fractal del conjunto de Mandelbrot, consideró que el de caos era nombre de poca monta para describir su trabajo, puesto que implicaba azar. A su juicio, el mensaje imperioso consistía en que los procesos sencillos producían en la naturaleza magníficos edificios de complejidad sin azar. En la no linealidad y la realimentación se tenían los instrumentos necesarios para descifrar y desplegar estructuras tan ricas como el cerebro humano.
Para otros científicos, como Arthur Winfree, que exploraban la topología global de los sistemas biológicos, el de caos era nombre insuficiente por lo angosto. Daba a entender los sistemas muy sencillos, los diagramas unidimensionales de Feigenbaum y los atractores extraños bidimensionales y tridimensionales (y una fracción) de Ruelle. El caos hipo dimensional, presentía Winfree, era un caso particular. Le interesaban las leyes de la complejidad de múltiples dimensiones, y estaba convencido de que existían. Gran parte —demasiada— del universo parecía más allá del ámbito del caos hipo dimensional.
La revista Nature publicó un debate abierto y constante sobre si el clima de la Tierra seguía un atractor extraño. Los economistas procuraron reconocerlos en las tendencias del mercado de valores, pero hasta entonces habían fracasado. Los peritos en dinámica esperaron usar las herramientas del caos para explicar la turbulencia en su plenitud. Albert Libchaber, que ya formaba parte de la Universidad de Chicago, puso su elegante estilo experimental al servicio de la turbulencia, creando una caja de helio líquido miles de veces más grande que la minúscula de 1977. Nadie supo si tales experimentos, que liberaban desorden fluido en el espacio y el tiempo, encontrarían atractores sencillos. Como expresó el físico Bernardo Huberman:
—Si usted metiera una sonda en un río turbulento y dijese: «Miren, aquí hay un atractor extraño hipo dimensional», nos quitaríamos el sombrero con respeto y miraríamos.
El caos simbolizaba el conjunto de ideas que persuadía a aquellos científicos de que eran miembros de una empresa común. Todos, físicos, biólogos, matemáticos, etc., creían que los sistemas simples, deterministas, podían generar complejidad; que los excesivamente enrevesados para las matemáticas tradicionales obedecían a leyes sencillas; y que, en cualquiera de los campos que cultivaban, su tarea esencial consistía en comprender lo complejo.
§. La segunda ley, el rompecabezas del copo de nieve y el dado cargado
«Consideremos de nuevo las leyes de la termodinámica», escribió James E. Lovelock, autor de la hipótesis de Gaia. «Ciertamente, de buenas a primeras, suenan como el aviso puesto sobre la puerta del infierno de Dante…». Sin embargo…
La segunda ley es un dechado de malas noticias técnicas, la cual, partiendo de la ciencia, ha echado raíces hondas en la cultura general. Todo tiende al desorden. Cualquier proceso que cambie una forma de energía en otra pierde algo de calor. La eficacia perfecta es un sueño. El universo puede compararse a una calle de dirección única. La entropía debe crecer siempre en el universo y en cualquier sistema, hipotéticamente aislado, que haya en él. De cualquier manera que se formule, la segunda ley se presenta como regla inapelable. Eso es verdad en la termodinámica. Pero ha conquistado vida propia en reinos intelectuales muy alejados de la ciencia, en los que se la culpa de la desintegración de las sociedades, la decadencia económica, la destrucción de las buenas maneras y muchas otras variaciones del tópico del aumento de la imperfección. Ahora se consideran especialmente descaminadas esas encarnaciones colaterales y metafóricas de la segunda ley. La complejidad florece en nuestro mundo, y quienes recurren a la ciencia para entender de modo general los hábitos de la naturaleza quedarán más satisfechos con las leyes del caos.
Después de todo, en tanto que mengua hacia su equilibrio final, en el informe baño turco de la entropía máxima el universo se las arregla para crear estructuras interesantes. Los físicos reflexivos, a quienes interesa la acción de la termodinámica, se dan cuenta de cuán inquietante es la cuestión, como dijo uno de ellos, «de cómo una corriente de energía, falta de propósito determinado, aporta vida y consciencia al mundo». Forma parte del desconcierto la resbaladiza noción de la entropía, razonablemente bien definida con fines termodinámicos en términos de calor y temperatura, pero inverosímilmente ardua cuando hay que utilizarla como medida del desorden. Los físicos topan con sobradas dificultades en su deseo de medir el grado de orden en el agua, que compone estructuras cristalinas durante su transición al hielo, mientras la energía se disipa de modo incesante. La entropía termodinámica fracasa lamentablemente como medida del grado mutable de forma y de falta de ella en la creación de los aminoácidos, microorganismos, plantas y animales auto reproductores, y sistemas complejos de información, como el cerebro. Desde luego, esos islotes productores de orden han de obedecer a la segunda ley. Las leyes más importantes, las creadoras, se hallan en otra parte.
La naturaleza crea pautas y patrones. Unos están ordenados en el espacio y desordenados en el tiempo, y otros viceversa. Hay pautas fractales, que exhiben a escala estructuras similares a sí mismas. Otras producen estados estables u oscilantes. La formación de pautas y patrones se ha convertido en una rama de la física y la ciencia de los materiales, permitiendo que los científicos modelen la reunión de partículas de agregados, la dispersión fracturada de las descargas eléctricas, el crecimiento de cristales en el hielo y las aleaciones metálicas. Su dinámica parece muy básica —formas que se alteran en el espacio y el tiempo—; sólo ahora se poseen los instrumentos para comprenderlos. Ahora es lícito preguntar a un físico: « ¿Por qué todos los copos de nieve son distintos?».
Ramificación y agrupación.
El estudio de la formación de pautas, que ha estimulado la matemática fractal, unió algunas tan naturales como la trayectoria sesgada de una descarga eléctrica y la agrupación simulada de partículas que se mueven al azar (recuadro).
Los cristales de hielo nacen en el aire turbulento con una conocida mezcla de simetría y azar: la belleza especial de la indeterminación séxtuple. Cuando el agua se congela, los cristales emiten puntas; cuando éstas crecen, sus límites se hacen inestables y nuevas puntas brotan en los lados. Los copos de nieve obedecen a leyes matemáticas de asombrosa sutileza. Era imposible vaticinar con exactitud la velocidad con que crecería una punta, cuán angosta sería o con cuánta frecuencia se bifurcaría. Generaciones de científicos dibujaron y catalogaron múltiples patrones: láminas y columnas, cristales y poli cristales, agujas y dendritas. Los tratados presentaron la formación de los cristales como asunto de clasificación, a falta de cosa mejor.
El desarrollo de tales puntas, dendritas, se acepta ahora como problema de límites inestables y libres, sumamente no lineal, por lo cual ha de entenderse que los modelos necesitan seguir una frontera complicada y culebreante al paso que se transforma. Cuando la solidificación va del exterior al interior, como en una cubeta, el límite suele permanecer estable y uniforme, porque las paredes tienen la facultad de irradiar calor y dominan la velocidad de formación. Pero cuando el cristal se solidifica hacia el exterior, a partir de un núcleo inicial —como el copo de nieve, que captura moléculas de agua mientras cae a través del aire cargado de humedad—, el proceso se hace inestable. Cualquier pizca de límite que se anticipe a sus vecinas tiene ventaja en recoger moléculas ácueas y, por consiguiente, crece más de prisa («efecto de pararrayos»). Se crean otras ramas y, luego, más sub ramas.
Una de las dificultades consistía en cuál de las muchas fuerzas físicas que mediaban era importante y de cuáles podía prescindirse. La principal, como hace mucho tiempo que saben los científicos, es la difusión del calor liberado por el agua al helarse. No obstante, no explica del todo los patrones que los investigadores observan con el microscopio en los copos de nieve o los que hacen en el laboratorio. Recientemente, han encontrado la manera de incorporar otro proceso: la tensión superficial. El corazón del nuevo modelo de copo es la esencia del caos: equilibrio delicado entre las fuerzas de la estabilidad y de la inestabilidad; interacción poderosa de fuerzas a escala atómica y otras a escala normal.
Contrapeso de la estabilidad y la inestabilidad.
Un líquido forma, al cristalizarse, una punta creciente (ésta es una fotografía de exposiciones múltiples), con un límite que se inestabiliza y emite ramas laterales (izquierda). Simulación de ordenador de los delicados procesos termodinámicos que ocurren en los verdaderos copos de nieve (abajo).
La difusión del calor tiende a generar inestabilidad, y la tensión superficial, estabilidad. La intervención de ésta hace que una sustancia prefiera límites suaves, como las paredes de una pompa de jabón. Cuesta energía elaborar superficies irregulares. El equilibrio de dichas tendencias depende del tamaño del cristal. La difusión es sobre todo un proceso macroscópico, a escala grande, y la tensión superficial posee más fuerza a escala microscópica.
Los efectos de la tensión superficial son tan reducidos, que los investigadores se acostumbraron, con fines prácticos, a prescindir de ellos. Fue un error. Las escalas más minúsculas resultaron cruciales; en ellas los efectos superficiales mostraron que eran infinitamente sensibles a la estructura molecular de una sustancia que se solidificaba. En el hielo, una simetría molecular natural proporciona una preferencia intrínseca al crecimiento en seis direcciones. Los científicos se sorprendieron al descubrir que la mezcla de estabilidad e inestabilidad amplía esta preferencia microscópica, que crea la labor de encaje cuasi fractal de los copos de nieve. Las matemáticas oportunas se debieron no a los meteorologistas, sino a los físicos teóricos, y también a los metalurgistas, interesados en la cuestión. La simetría molecular de los metales es diferente y, asimismo, los cristales peculiares que contribuyen a especificar la fuerza de una aleación. Pero las matemáticas son idénticas, porque las leyes de la formación de pautas y patrones tienen validez universal.
La dependencia sensitiva de las condiciones iniciales crea en vez de destruir. Cuando un copo de nieve en formación desciende hacia el suelo, flotando típicamente en el aire durante una hora, o más tiempo, la elección que efectúan las puntas bifurcantes, en un instante dado, depende sensitivamente de cosas tales como la temperatura, la humedad y la existencia de impurezas en la atmósfera. Las seis puntas de un copo, extendiéndose en un espacio milimétrico, están expuestas a la misma temperatura, y, ya que las leyes del crecimiento son deterministas, mantienen una simetría casi perfecta. Pero, debido a la índole del aire turbulento, cualquier par de copos seguirá caminos muy diversos. El definitivo archiva la historia de todas las condiciones cambiantes del tiempo atmosférico que ha experimentado. Y las combinaciones llegan a ser infinitas.
Los copos de nieve, como los físicos se complacen en decir, son fenómenos sin equilibrio. Proceden de la descompensación del flujo de energía de un objeto natural a otro. El flujo transforma un límite en una punta, la punta en una expansión en ramas, y la expansión en una estructura compleja jamás presenciada hasta entonces. Así que han descubierto que esa inestabilidad se somete a las leyes universales del caos, los científicos han aplicado los mismos métodos a multitud de problemas físicos y químicos. E, inevitablemente, sospechan que será posible hacer lo mismo en biología. En el fondo de sus mentes, mientras observan las simulaciones de ordenador de un desarrollo dendrítico, ven algas, tabiques celulares y organismos que germinan y se dividen.
Al presente, parece haber muchos caminos de acceso desde las partículas microscópicas a la complejidad cotidiana. En la física matemática, la teoría de la bifurcación de Feigenbaum y sus colegas prospera en los Estados Unidos y Europa. En el cuerpo abstracto de la física teórica, los científicos abordan cuestiones hasta ahora no estudiadas, como la del caos cuántico, aún no zanjada: ¿Admite la mecánica cuántica los fenómenos caóticos de la clásica? En el estudio de los fluidos móviles, Libchaber construye su enorme caja de helio líquido, y Pierre Hohenberg y Günter Ahlers analizan las ondas de la convección, de figuras tan raras. Los expertos en el caos emplean en astronomía inesperadas inestabilidades gravitacionales para aclarar el origen de los meteoritos, la aparición, al pronto inexplicable, de asteroides desde mucho más allá de Marte. Los científicos utilizan la física de los sistemas dinámicos para estudiar el inmunológico humano, con sus miles de millones de componentes y su capacidad de aprender, recordar y reconocer pautas, y, al mismo tiempo, investigan la evolución con la esperanza de encontrar mecanismos universales de adaptación. Quienes hacen tales modelos ven en seguida estructuras que se copian, compiten y se desarrollan por selección natural.
«La evolución es caos con realimentación», escribió Joseph Ford. El universo se compone de azar y disipación, sí. Pero el azar con dirección llega a producir complejidad asombrosa. Y, como Lorenz descubrió hace tanto tiempo, la disipación es agente de orden.
«Dios juega a los dados con el universo», replica Ford a la célebre pregunta de Einstein. «Pero con dados cargados. Y el principal objetivo de la física actual es averiguar según qué reglas fueron cargados y cómo podremos utilizarlos para nuestros fines».
§. Oportunidad y necesidad
Ideas como las señaladas contribuyen al progreso de la empresa colectiva de la ciencia. Sin embargo, no hay filosofía, prueba o experimento con vigor suficiente para desengañar a los investigadores que creen que la ciencia debe proporcionar ante todo y siempre un método de trabajo. Lo clásico falla en algunos laboratorios. La ciencia normal se extravía, según palabras de Kuhn; un elemento del equipo no responde a lo esperado; «la profesión no puede continuar eludiendo las anomalías». Sin embargo, para los científicos, las ideas del caos no han de prevalecer hasta que el método del caos sea necesario.
Todos los campos proporcionaron ejemplos. Había en ecología Wilson M. Schaffer, el último discípulo de Robert McArthur, decano de la disciplina en los años cincuenta y sesenta. McArthur había edificado una concepción de la naturaleza que prestaba base firme a la noción de equilibrio natural. Sus modelos suponían que habría equilibrios y que las poblaciones de plantas y animales permanecerían contiguas a ellos. Para McArthur, aquello tenía algo que casi podía definirse como cualidad moral: los estados de equilibrio de sus modelos acarreaban el empleo más eficaz de los recursos alimentarios y, por lo tanto, el desperdicio mínimo. La naturaleza, si no se intervenía en ella, sería buena.
Veinte años después, el último estudiante de McArthur se sorprendió pensando que estaba condenada al fracaso la ecología fundada en la idea de equilibrio. La predisposición lineal traiciona los modelos clásicos. La naturaleza es más complicada. En su lugar ve el caos, «a la vez estimulante y un poco amenazador». Quizá llegue a minar los presupuestos ecológicos más resistentes, anuncia a sus colegas. «Lo que pasa por conceptos básicos en ecología se asemeja a la niebla ante la furia de la tempestad, en este caso una tempestad total y no lineal».
Schaffer usa atractores extraños para explorar la epidemiología de enfermedades infantiles, tales como el sarampión y las viruelas locas. Ha acopiado datos en las ciudades de Nueva York y Baltimore, en primer lugar, y después en Aberdeen (Escocia) y en toda Inglaterra y Gales. Ha compuesto un modelo dinámico semejante a un péndulo amortiguado. Las enfermedades sobrevienen anualmente por contagio entre los niños que vuelven a la escuela, y las amortigua su resistencia natural. El modelo de Schaffer predice que tales dolencias tendrán comportamiento llamativo por lo diferente: las viruelas locas han de variar periódicamente, y el sarampión, caóticamente. Y los datos cumplen con exactitud sus predicciones. Las variaciones anuales carecían de explicación para el epidemiólogo tradicional: dependían del azar y eran inestables. Schaffer muestra, con las técnicas de la reconstrucción del espacio de fases, que el sarampión obedece a un atractor extraño, cuya dimensión fractal es alrededor de 2,5.
Había computado exponentes de Lyapunov y trazado mapas de Poincaré.
—Más puntualmente —dijo—: cuando se contempla, la imagen salta a la cara y uno exclama « ¡Dios mío! Es lo mismo».
Aunque el atractor sea caótico, la índole determinista del modelo consiente cierta predectibilidad. A un año de alta incidencia del sarampión, sigue uno de desplome vertical; a uno de infección media, el índice cambia levemente. Y uno de contagio reducido suscita enorme impredecibilidad. El modelo de Schaffer pronosticó también las consecuencias de moderar la dinámica con programas de vacunación multitudinaria, que no podía vaticinar la epidemiología clásica.
Las nociones del caos avanzan en diferentes sentidos, y por distintas razones, en las escalas colectiva y personal. Para Schaffer, como para tantos otros, la transición desde la ciencia tradicional al caos ocurrió de forma inesperada. Era blanco perfecto para la apología «mesiánica» que Robert May publicó en 1975; no obstante, leyó el artículo y lo descartó. Juzgó que las ideas matemáticas no podían ser adecuadas para la clase de sistemas que estudia el ecologista práctico. Sabía demasiada ecología para apreciar lo expuesto por May. Si eran diagramas unidimensionales, se dijo, ¿qué relación tenían con sistemas que cambiaban sin tregua? Un colega le propuso: «Consulte a Lorenz». Anotó la referencia en un papel y jamás se molestó en buscar el texto.
Años más tarde, Schaffer vivió en el desierto próximo a Tucson (Arizona). Los estíos le encontraron en los montes Santa Catalina, al norte, islas de chaparros, en las que sólo hacía calor cuando el suelo desértico abrasaba. En aquellos sotos, durante los meses de junio y julio, tras la floración primaveral y antes de las lluvias veraniegas, Schaffer y sus estudiantes graduados examinaron abejas y flores de especies diferentes. Aquel sistema ecológico se ponderaba con facilidad, a pesar de sus variaciones anuales. Schaffer contó las abejas en todas las corolas, midió el polen con pipetas y analizó los datos matemáticamente. Los abejorros competían con las abejas mielíferas, y éstas con las carpinteras, y Schaffer hizo un modelo convincente para explicar las fluctuaciones de la población.
En 1980 notó que algo no marchaba bien. Su modelo se vino abajo. El actor trascendental era un animal que no había tenido en cuenta: las hormigas. Algunos de sus colegas echaron la culpa al tiempo invernal anómalo; y otros, al estival, no menos anómalo. Schaffer pensó en complicar su modelo con más variables. Pero se sentía frustrado hasta las entretelas del corazón. Corrió la voz entre los graduados de que no era una bicoca pasar el verano con él a 1.500 metros de altitud… Y todo cambió de pronto.
Schaffer encontró por casualidad una separata sobre el caos químico, observado en un enrevesado experimento de laboratorio, y presintió que los autores habían sufrido el mismo problema que él: la imposibilidad de advertir las docenas de reacciones de productos dentro de un recipiente casaba con la de tener en cuenta docenas de especies en los montes de Arizona. Con todo, habían triunfado donde él había fracasado. Leyó, por fin, lo referente a la reconstrucción del espacio de fases. Leyó a Lorenz, Yorke, etc. La Universidad de Arizona patrocinó una serie de conferencias sobre «El orden en el caos». Harry Swinney compareció, y Swinney dominaba el arte de describir los experimentos. Cuando explicó el caos químico, mostró la diapositiva de un atractor extraño y sentenció: «He aquí el dato auténtico», Schaffer sintió un escalofrío.
—Supe de pronto que aquél era mi destino —dijo.
Disponía de un año sabático. Retiró la solicitud de financiación presentada en la National Science Foundation y pidió una beca Guggenheim. En las montañas, las hormigas cambiaban con las estaciones. Las abejas revoloteaban y se disparaban con zumbido dinámico. Las nubes se deslizaban por el firmamento. No volver a trabajar a la antigua.
Este libro se basa en las palabras de unos doscientos científicos, en conferencias públicas, en escritos técnicos y, sobre todo, en entrevistas efectuadas entre abril de 1984 y diciembre de 1986. Algunos consultados son especialistas en el caos; otros no. Varios se prestaron a ceder muchas horas de su tiempo, durante meses enteros, y expusieron visiones de la historia y la práctica de la ciencia que no pueden acreditarse de otro modo. Unos pocos proporcionaron memorias que no han sido publicadas.
Existen escasas fuentes de información secundaria sobre el caos, y el lector profano que desee ampliar sus conocimientos topará con dificultades en la satisfacción de sus propósitos. Tal vez la primera introducción general al caos —conserva aún el aroma de la cuestión y presenta parte de las matemáticas fundamentales— sea la sección que Douglas R. Hofstadter firmó, en noviembre de 1981, en Scientific American, y que ha sido reimpresa en Metamagical Themas (Nueva York: Basic Books, 1985). Dos colecciones útiles de los artículos científicos más influyentes son Chaos de Hao Bai-Lin (Singapur: World Scientific, 1984) y Universality in Chaos, de Predrag Cvitanović (Bristol: Adam Hilger, 1984). Estas selecciones apenas presentan coincidencias; y la primera de ellas quizá tenga orientación algo más histórica. Para quienes interese el origen de la geometría fractal, la fuente indispensable, enciclopédica y exasperante, es The Fractal Geometry of Nature, de Benoît Mandelbrot (Nueva York: Freeman, 1977). The Beauty of Fractals, de Heinz-Otto Peitgen y Peter H. Richter (Berlín: Springer-Verlag, 1986), escudriña muchas porciones de las matemáticas del caos al estilo romántico europeo, con valiosos ensayos de Mandelbrot, Andrien Douady y Gert Eilenberger; contiene numerosas representaciones gráficas en color y en blanco y negro, varias de las cuales se reproducen en la presente obra. Un texto bien ilustrado y destinado a los ingenieros y personas que busquen una exposición práctica de las ideas matemáticas es Nonlinear Dynamics and Chaos, de H. Bruce Stewart y J. M. Thompson (Chichester: Wiley, 1986). Ninguno de estos libros será útil a los lectores que carezcan de conocimientos técnicos rudimentarios.
En la presentación de los hechos, motivos y perspectivas de los científicos, he procurado evitar, dentro de lo posible, el lenguaje de la ciencia, dando por sentado que las personas preparadas sabrán de qué se trata cuando se hable de integrabilidad, ley de la distribución de energía o análisis complejo. Los lectores interesados en la presentación matemática o en referencias específicas recurrirán a las notas expuestas por capítulos. En la selección de unas cuantas revistas, entre los millares que pudiera haber citado, me he decidido por aquellas que influyeron más directamente en los hechos aquí narrados, o que sean más útiles, en sentido amplio, a quienes prefieran disponer de explicaciones más precisas sobre las ideas que les interesen.
Las descripciones de lugares se basan por lo regular en mis visitas a ellos. Las siguientes instituciones pusieron a mi servicio sus investigadores, bibliotecas y, en varios casos, equipos de ordenadores: Universidad de Boston, Universidad de Cornell, Courant Institute of Mathematics, European Centre for Medium Range Weather Forecasts, Georgia Institute of Technology, Universidad de Harvard, Thomas J. Watson Research Center de la IBM, Institute for Advanced Study, Lamont-Doherty Geophysical Observatory, Los Alamos National Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, National Center of Atmospheric Research, National Institutes of Health, National Meteorological Center, Universidad de Nueva York, Observatoire de Nice, Universidad de Princeton, Universidad de California en Berkeley, Universidad de California en Santa Cruz, Universidad de Chicago, Woods Hole Oceanographic Institute y Xerox Palo Alto Research Center.
Las notas que van a continuación señalan mis principales fuentes sobre citas e ideas particulares. Proporciono cita completa de libros y artículos; cuando se menciona un solo apellido, la referencia implica a uno de los científicos siguientes, cuya colaboración ha sido muy útil para mis investigaciones:
NOTA: Los números de página se refieren a la edición en papel.
Prólogo
9 Los Álamos Feigenbaum, Carruthers, Campbell, Farmer, Visscher, Kerr, Hasslacher, Jen.
10 «Sé que es usted» Feigenbaum, Carruthers.
13 Programas gubernamentales Buchal, Shlesinger, Wisniewski.
13 Elementos del movimiento Yorke.
13 Del proceso antes que del estado F. K. Browand, «The Structure of the Turbulent Mixing Layer», Physica 18D (1986), pág. 135.
13 Comportamiento de los automóviles Los científicos japoneses se tomaron muy en serio los problemas del tráfico; por ejemplo, Toshimit su Musha e Hideyo Higuchi, «The Uf Fluctuation of a Traffic Current on an Expressway», Japanese Journal of Applied Physics (1976), páginas 1271-75.
14 El hecho de haberse dado cuenta de ello Mandelbrot, Ramsey; Wisdom, Marcus; Alvin M. Saperstein, «Chaos – A Model for the Outbreak of War», Nature 309 (1984), págs. 303-5.
14 «Hace quince años» Shlesinger.
14 Sólo por tres cosas Shlesinger.
14 La tercera gran revolución Ford.
14 «La relatividad eliminó» Joseph Ford, «What Is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», separata, Georgia Institute of Technology, pág. 12.
15 El cosmólogo John Boslough, Stephen Hawking’s Universe (Cambridge: Cambridge University Press, 1980), véase también Robert Shaw, The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Santa Cruz: Aerial, 1984), pág. 1.
El efecto de la mariposa
27 El tiempo atmosférico simulado Lorenz, Marcus, Spiegel, Farmer. Lo esencial de Lorenz es un tríptico de artículos cuyo centro ocupa «Deterministic Nonperiodic Flow», Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), págs. 130-41; lo flanquean «The Mecanics of Vacillation», Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), págs. 448-64, y «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations», Tellus 16 (1964), págs. 1-11. Representan una obra, engañosamente elegante, que aún influye, al cabo de veinte años, en matemáticos y físicos. Algunos recuerdos personales de Lorenz de su primer modelo atmosférico de ordenador aparecen en «On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems», en Global Analysis, eds. M. Grmela y J. Marsdem (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), págs. 53-75.
28 Fueron reglas numéricas Una descripción contemporánea de Lorenz, muy legible, del empleo de ecuaciones para establecer un modelo de la atmósfera es «Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation», en Advances in Earth Science, ed. P. M. Hurley (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1966), págs. 95-109. Análisis inicial e influyente de este problema es Weather Prediction by Numerical Process, de L. F. Richardson (Cambridge: Cambridge University Press, 1922).
29 Pureza de las matemáticas. Lorenz. Asimismo, una exposición de la influencia contradictoria de las matemáticas y la meteorología en su pensamiento es «Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere», Crafoord Prize Lecture presentada en la Real Academia Sueca de Ciencias, Estocolmo, en 28 de septiembre de 1983, en Tellus 36A (1984), págs. 98-110.
30 «Abarcaría en la misma fórmula» A Philosophical Essay on Probabilities de Pierre-Simon Laplace (Nueva York: Dover, 1951).
31 «La idea básica» Winfree.
32 «Es la clase de regla» Lorenz.
33 Se le ocurrió al pronto «On the Prevalence», pág. 55.
33 Los errores ínfimos fueron catastróficos De todos los físicos y matemáticos clásicos que reflexionaron sobre los sistemas dinámicos, el que mejor comprendió la posibilidad del caos fue Jules-Henri Poincaré. Comentó en Ciencia y método:
«Una pequeñísima causa, que escapa a nuestra percepción, determina un efecto considerable, que hemos de ver forzosamente, y entonces decimos que el efecto se debe al azar. Si conociésemos bien las leyes de la naturaleza, y la situación del universo en el momento inicial, conseguiríamos predecir exactamente la situación del mismo universo en un momento siguiente. Más, incluso en el caso de que las leyes naturales no nos ocultasen sus secretos, continuaríamos sabiendo la situación sólo de manera aproximada. Si eso nos facultase a pronosticar la situación sucesiva con la misma aproximación, no necesitaríamos más, y afirmaríamos que el fenómeno se vaticinó y que las leyes gobiernan todo. Sin embargo, no ocurre siempre así; acaso suceda que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan unas muy grandes en el fenómeno definitivo. Un leve error en las primeras se convertirá en uno colosal en el segundo. Se hace imposible predecir…».
Se olvidó el aviso de Poincaré, pronunciado en el cambio de siglo. En los Estados Unidos, el único matemático que atendió con seriedad a Poincaré en las décadas de 1920 y 1930 fue George D. Birkhoff, quien por curiosa casualidad enseñó durante breve tiempo en el MIT al estudiante Edward Lorenz.
34 «No habíamos tenido éxito» Lorenz.
35 Los años de 1950 y 1960 se caracterizaron Woods, Schneider; amplia revisión de los pareceres expertos de entonces fue «Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near», The New York Times, 9 de septiembre de 1963, pág. 1. 35 Von Neumann imaginó Dyson.
35 Una vasta y costosa burocracia Bonner, Bengtsson, Woods, Leith.
37 Previsiones sobre el crecimiento económico «Expectation and Prediction», de Peter B. Medawar, en Pluto’s Republic (Oxford: Oxford University Press, 1982), págs. 301-4.
37 El efecto de la mariposa Lorenz empleó de momento la imagen de una gaviota; el nombre más duradero parece haber salido de su artículo «Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set of a Tornado in Texas?», discurso pronunciado en la reunión anual de la American Association for the Advancement of Science en Washington (29 de diciembre de 1979).
38 Supóngase que la Tierra Yorke.
38 «Nada de predicción» Lorenz, White.
39 Debía de haber un eslabón «The Mechanics of Vacillation».
40 «Por un clavo» George Herbert; citado en este contexto por Norbert Wiener, «Nonlinear Prediction and Dynamics», en Collected Works with Commentaries, ed. P. Masani (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1981), 3:371. Wiener se anticipó a Lorenz en ver al menos la posibilidad de «auto ampliación de los detalles pequeños del mapa meteorológico». Notó: «Un tornado es un fenómeno muy localizado y aparentes nonadas, de escasa extensión, quizá decidan su trayectoria exacta».
41 «El carácter de la ecuación» John von Neumann, «Recent Theories of Turbulence» (1949), en Collected Works, ed. A. H. Taub (Oxford: Pergamon Press, 1963), 6:437.
42 Taza de café recién hecho «The Predictability of Hydrodynamic Flow», en Transactions of the New York Academy of Sciences II:25:4 (1963), págs. 409-32.
42 «Quizá nos cueste pronosticar» Ibíd., pág. 410.
42 Lorenz despojó hasta los huesos La serie de siete ecuaciones para representar el modelo de la convección fue ideada por Barry Saltzman, de la Universidad de Yale, al cual Lorenz visitó. Por lo común, las ecuaciones de Saltzman se portaban periódicamente, pero una versión «se negó a reposar», como dijo Lorenz, quien advirtió que, durante el comportamiento caótico, cuatro variables se aproximaban a cero, por lo que podían ser descartadas. Barry Saltzman, «Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem», Journal of the Atmospheric Sciences 19 (1962), pág. 329.
44 Geodínamo Malkus; la idea del caos en los campos magnéticos terrestres todavía se debate con calor, y algunos científicos buscan otras explicaciones, de origen externo, como los impactos de grandes meteoritos. Una exposición inicial del concepto de que las inversiones se deben al caos inherente al sistema se debe a K. A. Robbins, «A Moment Equation Description of Magnetic Reversals in the Earth», Proceedings of the National Academy of Science73 (1976), 4297-4301.
44 Rueda de agua o noria Malkus.
47 Tres ecuaciones Este modelo clásico, que suele llamarse sistema de Lorenz, es:
dx/dt = 10(y − x)
dy/dt = xz + 28x − y
dz/dt = xy − (8/3)z.
Se ha analizado ampliamente desde su aparición en «Deterministic Nonperiodic Flow»; volumen técnico, lleno de autoridad, es el de Colin Sparrow, The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors (Springer-Verlag, 1982). 48 «Ed, sabemos» Malkus, Lorenz.
49 A nadie se le ocurrió La comunidad científica, mediada la década de 1960, citó alrededor de una vez al año «Deterministic Nonperiodic Flow»; dos decenios más tarde, las citas anuales ascienden a más de un centenar.
Revolución
51 El historiador de la ciencia Se ha analizado y debatido sobradamente cómo entendió Kuhn las revoluciones científicas durante los cinco lustros transcurridos desde que manifestó su parecer, más o menos en la época en que Lorenz programaba su modelo de ordenador del tiempo atmosférico. Sobre las opiniones de Kuhn me he basado ante todo en The Structure of Scientific Revolutions, 2 fl ed. ampliada (Chicago: University of Chicago Press, 1970), y de modo secundario en The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change (Chicago: University of Chicago, 1977); «What Are Scientific Revolutions?» (Ocassional Paper Nº 18, Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology); y entrevista con Kuhn. Otro análisis útil e importante sobre la cuestión es I. Bernard Cohen, Revolution in Science (Cambridge, Mass.: Belknap Press, 1985).
51 «No conseguí entender» Structure, págs. 62-65, citando a J. S. Bruner y Leo Postman, «On the Perception of Incongruity: A Paradigm», Journal of Personality XVIII (1949), pág. 206.
52 Operaciones de limpieza Structure, pág. 24.
52 Los experimentalistas ejecutan Tension, pág. 229.
52 En la época de Benjamin Franklin Structure, págs. 13-15.
53 «En condiciones normales» Tension, pág. 234.
53 Un físico atómico Cvitanović.
54 Tolstoi Ford, entrevista y «Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable», en Chaotic Dynamics and Fractals, eds. M. F. Barnsley y S. G. Demko (Nueva York: Academic Press, 1985).
55 Palabras como éstas sonaron Pero Michael Berry observa que el OED (Oxford English Dictionary) admite «caología» (infrecuente), «la historia o descripción del caos». Berry, «The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine», separata, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol.
55 «Es un masoquismo» Richter.
55 Estos resultados se manifiestan J. Crutchfield, M. Nauenberg y J. Rudnick, «Scaling for External Noise at the Onset of Chaos», Physical Review Letters 46 (1981), pág. 933.
55 El corazón del caos Alan Wolf, «Simplicity and Universality in the Transition to Chaos», Nature 305 (1983), pág. 182.
55-56 El caos presagia Joseph Ford, «What is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», separata, Georgia Institute of Technology, Atlanta.
56 Las revoluciones no se declaran «What Are Scientific Revolutions?», pág. 23.
56 «Es algo así como» Structure, pág. 111.
56 La rata de laboratorio Yorke y otros.
57 Aristóteles, al observar el péndulo «What Are Scientific Revolutions?», págs. 2-10.
57 «Si dos amigos se ponen» Galileo, Opere VIII: 277. También VIII: 129130.
59 «La medicina fisiológica y psiquiátrica» David Tritton, «Chaos in the swing of a pendulum», New Scientist, 24 de julio de 1986, pág. 37. Es un ensayo muy legible y de carácter no ético sobre las inferencias filosóficas que se extraen del caos pendular.
59 Es posible En realidad, cualquiera que empuje un columpio produce siempre un movimiento más o menos regular, debido, por lo visto, a que usa un mecanismo inconsciente de realimentación no lineal.
59 Pero, por extraño que parezca Entre los muchos análisis de las posibles complicaciones de un péndulo sencillo, puede utilizarse como buen sumario D. D’Humiéres, M. R. Beasley, B. A. Huberman y A. Libchaber, «Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum», Psysical Review A 26 (1982), págs. 3483-96.
60 «Bolas espaciales» Michael Berry investigó teórica y experimentalmente los comportamientos físicos de este juguete. En «The Unpredictable Bouncing Rotator» describe una porción de ellos sólo comprensibles desde el punto de vista de la dinámica caótica: «KAM tori, bifurcation of periodic orbits, Hamiltonian chaos, estable fixed points and strange attractors».
62 Un astrónomo francés Hénon.
62 Un ingeniero eléctrico japonés Ueda.
62 Un físico joven Fox.
62 Smale Smale, Yorke, Guckenheimer, Abraham, May, Feigenbaum; una exposición breve, y algo anecdótica, del pensamiento de Smale en este período es «On How I Got Started in Dynamical Systems», en Steve Smale, The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (Nueva York: Springer-Verlag, 1980), págs. 147-51.
63 Lo ocurrido en Moscú Raymond H. Anderson, «Moscow Silences a Critical American», The New York Times, 27 de agosto de 1966, pág. 1; Smale, «On the Steps of Moscow University», The Mathematical Intelligencer 6:2, págs. 21-27.
63 De vuelta a California Smale.
65 Un colega le informó por carta El colega era N. Levinson. Se reunieron así varias orientaciones matemáticas, que se remontaban a Poincaré. Una era la obra de Birkhoff. En Inglaterra, Mary Lucy Cartwright y J. E. Littlewood examinaron los indicios descubiertos por Balthasar Van der Pol en los osciladores caóticos. Estos matemáticos tenían buen conocimiento de la posibilidad de que hubiera caos en los sistemas sencillos; pero Smale, como la mayor parte de los matemáticos formados tradicionalmente, ignoraba su labor. Fue necesaria la carta de Levinson para enterarle de ella.
66 Sólido y raro Smale; «On How I Got Started».
66 Nos referimos a un tubo de vacío Van der Pol describió su trabajo en Nature 120 (1927), págs. 363-64.
66 «A menudo se percibe en el teléfono» Ibíd.
69 Una versión simple La exposición matemática definitiva de Smale de este trabajo es «Differentiable Dynamical Systems», Bulletin of the American Mathematical Society 1967, págs. 747-817 (también en The Mathematics of Time, págs. 1-82).
69 El proceso remeda Riissler.
69 Pero lo suprimido resultó Yorke.
70 Era una edad de oro Guckenheimer, Abraham.
70 «Es el cambio paradigmático» Abraham.
70 Un modesto enigma cósmico Marcus, Ingersoll, Williams; Philip S. Marcus, «Coherent Vortical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter», comunicación presentada en la 110ª reunión de la Acoustical Society of America, Nashville, Tennessee, 5 de noviembre de 1985.
70 «La Mancha Roja alborotada» John Updike, «The Moons of Jupiter», en Facing Nature (Nueva York: Knopf, 1985), pág. 74.
72 El Voyager duplicó Ingersoll; también, Andrew P. Ingersoll, «Order from Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Saturn», Planetary Report4:3, págs. 8-11.
73 «Uno ve a gran escala» Marcus.
74 « ¡Eh! ¿Qué es esta especie?» Marcus.
Altibajos de la vida
75 Pez famélico May Schaffer, Yorke, Guckenheimer. El célebre artículo en que May reseñó las lecciones del caos en la biología de la población se titula «Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics», Nature 261 (1976), págs. 459-67. También: «Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos», Science 186 (1974), págs. 645-47; y May y George F. Oster, «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models», The American Naturalist 110 (1976), págs. 573-99. Una excelente visión del desarrollo de los modelos matemáticos de las poblaciones, antes del caos, es Sharon E. Kingsland, Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology (Chicago: University of Chicago Press, 1985).
75 El mundo ofrece May y Jon Seger, «Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorrow», separata, Princeton University, pág. 25.
76 Caricaturas de lo real May y George F. Oster, «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models», The American Naturalist 110 (1976), pág. 573.
80 En la década de 1950 May.
81 Los libros de consulta J. Maynard Smith, Mathematical Ideas in Biology (Cambridge: Cambridge University Press, 1968), pág. 18; Harvey J. Gold, Mathematical Modeling of Biological Systems.
81 Escondida en algún rincón May.
82 Su informe sobre cómo Gonorrhea Transmission Dynamics and Control, Herbert W. Hethcote and James A. Yorke (Berlín: Springer-Verlag, 1984).
82 El método de limitar con cupos. Con simulaciones de ordenador, Yorke averiguó que el método obligaba a los conductores a visitar la gasolinera con mayor frecuencia y a tener siempre lleno el depósito; de tal suerte, se acrecentaba la cantidad de gasolina que permanecía sin consumo en los automóviles del país en cualquier momento.
82 Analizó la sombra que proyectaba Los registros de los aeropuertos probaron más tarde que York había acertado.
82-83 El artículo de Lorenz Yorke.
83 «Los miembros de la facultad» Murray Gell-Mann, «The Concept of the Institute», en Emerging Synthesis in Science, actas de los talleres del Santa Fe Institute (Santa Fe: The Santa Fe Institute, 1985), pág. 11.
84 Entregó una copia Yorke, Smale.
85 «Si se puede escribir» Yorke.
85 Hasta qué extremo la naturaleza no lineal Un ensayo comprensible sobre la linealidad, la no linealidad y el uso histórico de los ordenadores para entender la diferencia, se tiene en David Campbell, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer y Erica Jen, «Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science», Communications of the Association for Computing Machinery 28 (1985), págs. 374-84.
85 «La Biblia no dice» Fermi, citado en S. M. Ulam, Adventures of a Mathematician (Nueva York: Scribners, 1976). Ulam describe asimismo el origen de otra importante orientación en la comprensión de la no linealidad: el teorema de Fermi-Pasta-Ulam. Buscando problemas que pudieran calcularse con el nuevo ordenador MANIAC de Los Álamos, los científicos recurrieron a un sistema dinámico que era sólo una cuerda vibrante, modelo sencillo que «tenía, además, un pequeño término no lineal físicamente correcto». Hallaron pautas que se fundían en inesperada periodicidad. Como Ulam lo refiere: «Los resultados fueron por completo distintos cualitativamente de lo que incluso Fermi, con su gran sabiduría en movimientos ondulados, había esperado… Con gran sorpresa nuestra, la cuerda se puso a jugar a una partida de sillas que se eliminan al son de la música…». Fermi no dio importancia al fenómeno, y los resultados no tuvieron mucha publicidad, aunque unos pocos matemáticos y físicos los siguieron, y se convirtieron en parte especial de la leyenda de Los Álamos. Adventures, págs. 226-28.
85 «Animales no elefantes» Pasaje citado en «Experimental Mathematics», pág. 374.
85 «El primer mensaje» Yorke.
86 El artículo sobresalió Escrito en colaboración con el estudiante TienYien Li. «Period Three Implies Chaos», American Mathematical Monthly 82 (1975), págs. 985-92.
86 May había llegado a la biología May.
87 « ¿Qué diablos sucede?» May. Fue esta pregunta, en apariencia sin respuesta, la que le llevó de los métodos analíticos a la experimentación numérica, en busca, por lo menos, de intuición.
91 Bien que fuera detonante Yorke.
91 A. N. Sarkovski «Coexistencia de ciclos de un diagrama continuo de una sola línea en sí mismo», Ukrainian Mathematics Journal 16 (1964), pág. 61.
94 Los matemáticos y físicos soviéticos Sinai, confidencia personal, 8 de diciembre de 1986.
94 Algunos expertos occidentales en el caos Por ejemplo, Feigenbaum, Cvitanović.
95 Para calar en el sistema Hoppensteadt, May.
95 El pasmo de aquel momento Hoppensteadt.
96 Dentro de la ecología May.
97 Epidemias de sarampión en Nueva York William M. Schaffer y Mark Kot, «Nearly One-Dimensional Dynamics in an Epidemic», Journal of Theoretical Biology 112 (1985), págs. 403-27; Schaffer, «Stretching and Foldin in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature», The American Naturalist 124 (1984), págs. 798-820.
98 El mundo mejoraría «Simple Mathematical Models», pág. 467.
98 «La intuición matemática» Ibíd.
Una geometría de la naturaleza
99 Una imagen de la realidad Mandelbrot, Gomory, Voss, Barnsley, Richter, Mumford, Hubbard, Shlesinger. El texto básico de Benoît Mandelbrot es The Fractal Geometry of Nature (Nueva York: Freeman, 1977). Una entrevista efectuada por Anthony Barcelos aparece en Mathematical People, eds. Donald J. Albers y G. L. Alexanderson (Boston: Birkhäuser, 1985). Dos ensayos de Mandelbrot menos conocidos y sumamente interesantes son «On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised», Proceedings of the International Congres of Mathematicians, 16-24 de agosto de 1983, Varsovia, págs. 1661-75; y «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», separata, IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, Nueva York. Las reseñas sobre la aplicación de los fractales se han hecho tan comunes, que sería prolijo citarlas; dos ejemplos útiles son Leonard M. Sander, «Fractal Growth Processes», Nature 322 (1986), págs. 789-93; y Richard Voss, «Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music», en Science and Uncertainty, ed. Sara Nash (Londres: IBM United Kingdom, 1985).
99 Sucedió en la pizarra de gabinete de trabajo Houthakker, Mandelbrot.
100 Wassily Leontief Citado en Fractal Geometry, pág. 423.
103 En el prólogo de una conferencia Woods Hole Oceanographic Institute, agosto de 1985.
103 Nació en Varsovia Mandelbrot.
105 Bourbaki Mandelbrot, Richter. Poco se ha escrito sobre Bourbaki, incluso a estas alturas. Una introducción juguetona es Paul R. Halmos, «Nicholas Bourbaki», Scientific American 196 (1957), págs. 88-89.
106 Las matemáticas habían de ser algo aparte Smale.
106 Su ciencia está sometida Peitgen.
107 Pionero por necesidad «Second Stage», pág. 5.
109 Esta descripción tan abstracta Mandelbrot; Fractal Geometry, pág. 74; J. M. Berger y Benoît Mandelbrot, «A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits», IBM Journal of Research and Development 7 (1963), págs. 224-36.
109 El efecto de José Fractal Geometry, pág. 248.
111 Las nubes no son esferas Ibíd., pág. 1, por ejemplo.
112 Intrigado por las líneas costeras Ibíd., pág. 27.
114 El procedimiento de abstracción Ibíd., pág. 17.
114 «La noción» Ibíd., pág. 18.
115 En una tarde invernal Mandelbrot.
117 La torre Eiffel Fractal Geometry, pág. 131, y «On Fractal Geometry», pág. 1663.
119 Técnicas de matemáticos F. Hausdorff y A. S. Besicovich.
120 «Había un ancho hiato» Mandelbrot.
121 En el nordeste Scholz; C. H. Scholz y C. A. Aviles, «The Fractal Geometry of Faults and Faulting», separata, Lamont-Doherty Geophysical Observatory; C. H. Scholz, «Scaling Laws for Large Earthquakes», Bulletin of the Seismological Society of America 72 (1982), págs. 1-14.
122 «Manifiesto» Fractal Geometry, pág. 24.
122 «No era un libro práctico» Scholz. 124 «Es un modelo único» Scholz.
127 «En la transición gradual» William Bloom y Don W. Fawcett, A Textbook of Histology (Filadelfia: W. B. Saunders, 1975).
127 Varios biólogos teóricos Hay una reseña de estas ideas en Ary L. Goldberger, «Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death», en Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems, eds. L. Resings, U. An der Heiden, M. Mackey (Nueva York: Springer-Verlag, 1987).
127 La red de fibras especiales Goldberger, West.
127-128 Varios cardiólogos que simpatizaban con el caos Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava, Bruce J. West y Arnold J. Mandell, «On a Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis», Biophysics journal 48 (1985), pág. 525.
128 E. I. Dupont de Nemours Barnaby J. Feder, «The Army May Have Matched the Goose», The New York Times, 30 de noviembre de 1986, 4: 16.
128 «Me puse a buscar» Mandelbrot.
129 Su nombre apareció I. Bernard Cohen, Revolution in Science (Cambridge, Mass.: Belknap, 1985), pág. 46.
130 «Ciertamente, es algo» Mumford.
130 «Tuvo que vencer tantas dificultades» Richter.
130 No podían evitar De la misma manera que, más tarde, evitó reconocer el mérito concedido rutinariamente a Mitchell Feigenbaum, en referencias a los números y universalidad de tal científico. En vez de hacerlo, Mandelbrot solía mencionar a P. J. Myrberg, matemático que había estudiado, de modo oscuro, en los primeros años sesenta, las iteraciones de los mapas cuadráticos.
131 «Mandelbrot no tuvo los pensamientos» Richter.
131 «La política afectaba» Mandelbrot.
132 Los grandes centros investigadores de la Exxon Klafter.
133 Un matemático contó a sus amigos Relatado por Huberman.
135 « ¿Por qué se declara?» «Freedom, Science, and Aestetics», en Schönheit im Chaos, pág. 35.
136 «Aquel período no simpatizó» John Fowles, A Maggot (Boston: Little, Brown, 1985), pág. 11.
137 «Tenemos que agradecer a los astrónomos» Rober H. G. Helleman, «Self-Generated Behavior in Nonlinear Mechanics», en Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen (Ámsterdam: North-Holland, 1980), pág. 165.
137 Pero los físicos anhelaron Leo Kadanoff, por ejemplo, preguntó «Where is the physics of fractals?», en Physics Today, febrero de 1986, pág. 6, y contestó la pregunta con un nuevo planteamiento «multifractal» en Physics Today, abril de 1986, pág. 17, que provocó una réplica, enojada, como era de esperar, de Mandelbrot, en Physics Today, septiembre de 1986, pág. 11. La teoría de Kadanoff, escribió, «me llena del orgullo de un padre… ¿Será pronto el de un abuelo?».
Atractores extraños
139 Todos los grandes físicos Ruelle, Hénon, Rössler, Sinai, Feigenbaum, Mandelbrot, Ford, Kraichnan. Existen muchas perspectivas del contexto histórico de los atractores extraños, en cuanto a la turbulencia. Hay una introducción excelente en John Miles, «Strange Attractors in Fluid Dynamics», en Advances in Applied Mechanics 24 (1984), págs. 189-214. El artículo más accesible de Ruelle es «Strange Attractors», Mathematical Intelligencer 2 (1980), págs. 126-37; su proposición catalizadora fue David Ruelle y Floris Takens, «On the nature of Turbulence», Communications in Mathematical Physics 20 (1971), págs. 167-92; entre sus artículos esenciales figuran «Turbulent Dynamical Systems», Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 16-24 de agosto de 1983, Varsovia, págs. 271-86; «Five Turbulent Problems», Physica 7D (1983), págs. 40-44; y «The Lorenz Attractor and the Problem of Turbulence», en Lecture Notes in Mathematics No. 565 (Berlín: Springer-Verlag, 1976), págs. 14658.
139 Se cuenta sobre Hay muchas versiones de la anécdota. Orszag cita cuatro sustitutos de Heisenberg —Von Neumann, Lamb, Sommerfeld y Von Karman—, y agrega: «Imagino que, si Dios contestase a esas cuatro personas, la respuesta sería distinta en cada caso».
141 Este supuesto Ruelle; también «Turbulent Dynamical Systems», pág. 281.
142 Cuya obra sobre la mecánica de los fluidos L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Oxford: Pergamon, 1959).
142 El oscilatorio, la varicosis sesgada Malkus.
144 «Es verdad» Swinney.
148 Swinney daba clases en 1973Swinney, Gollub.
148 «Tenía la apariencia de improvisación endeble» Dyson.
149 «Lo leímos» Swinney.
149 Comenzaron a comunicar sus resultados Swinney, Gollub.
149 «Allí teníamos la transición» Swinney.
150 El experimento no confirmaba la teoría J. P. Gollub y H. L. Swinney, «Onset of Turbulence in a Rotating Fluid», Physical Review Letters 35 (1975), pág. 927. Los primeros experimentos sólo dieron entrada al reconocimiento de los complejos comportamientos espaciales que podían ocurrir, variando los escasos parámetros del fluido entre los cilindros giratorios. En los años siguientes, se identificaron pautas que iban de «onditas en forma de sacacorchos» a «corrientes onduladas hacia el interior y el exterior» y «espirales interpenetrantes». Se tiene un sumario en C. David Andereck, S. S. Liu y Harry L. Swinney, «Flow Regimes in a Circular Couette System with Independently Rotating Cylinders», Journal of Fluid Mechanics 164 (1986), págs. 155-83.
150 David Ruelle decía Ruelle.
151 «La gente no especializada siempre descubre» Ruelle.
152 Escribió en el instituto un artículo «On the Nature of Turbulence».
152 Las opiniones al respecto variaban Descubrieron en seguida que algunas de sus ideas habían aparecido ya en la bibliografía rusa; «Por otra parte, la interpretación matemática que ofrecemos de la turbulencia es de nuestra propia responsabilidad», escribieron. «Note Concerning Our Paper “On the Nature of Turbulence”», Communications in Mathematical Physics 23 (1971), págs. 343-44.
152 Psicoanalíticamente «sugestiva» Ruelle.
152 « ¿Acaso se pregunta a Dios?» «Strange Attractors», pág. 131.
152 «Takens visitaba» Ruelle.
155 Algunos matemáticos de California Ralph H. Abraham y Christopher D. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior (Santa Cruz: Aerial, 1984).
157 «Siempre me preocupa» Richard P. Feynman, The Character of Physical Law (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1967), pág. 57.
157 David Ruelle conjeturó Ruelle.
158 «La reacción del estamento científico» «Turbulent Dynamical Systems», pág. 275.
159 Edward Lorenz había adjuntado «Deterministic Nonperiodic Flow», pág. 137.
159 «Se hace muy cuesta arriba conciliar» Ibíd., pág. 140.
160 Le visitó una vez Ruelle.
160 «No se forme un concepto ególatra» Ueda expone sus primeros descubrimientos, desde el punto de vista de los circuitos eléctricos, en «Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing’s Equation», en International Journal of Non-Linear Mechanics 20 (1985), págs. 481-91. Proporciona en un epílogo una explicación personal de sus motivos y de la fría acogida de sus colegas. También, Stewart, informe personal.
161 «Una salchicha dentro de una salchicha» Rössler.
162 El más revelador de los atractores extraños Hénon; informó de su invención en «A Two-Dimensional Mapping with a Strange Attractor», en Communications in Mathematical Physics 50 (1976), págs. 69-77, y Michel Hénon e Yves Pomeau, «Two Strange Attractors with a Simple Structure», en Turbulence and the Navier-Stokes Equations, ed. R. Teman (Nueva York: Springer-Verlag, 1977).
165 ¿Es estable el solar? Wisdom.
166 «Para disfrutar de mayor libertad» Michel Hénon y Carl Heiles, «The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments», Astronomical Journal 69 (1964), pág. 73.
167 En el observatorio Hénon.
167 «Yo estaba convencido» Hénon.
167 «Aquí viene la sorpresa» «The Applicability», pág. 76.
169 «Pero el tratamiento matemático» Ibíd., pág. 79.
169 Un físico invitado Yves Pomeau.
169 «En ocasiones los astrónomos temen» Hénon.
172 Otros acopiaron millones de noticias Ramsey.
173 «No he hablado de la fascinación» «Strange Attractors», pág. 137.
Universalidad
175 «Uno se fija en algo» Feigenbaum. Los artículos más importantes de Feigenbaum sobre la universalidad son «Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations», Journal of Statistical Physics 19 (1978), págs. 25-52, y «The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations», Journal of Statistical Physics21 (1979), págs. 669-706; una representación algo más accesible, aunque requiera manejo matemático, es «Universal Behavior in Nonlinear Systems», Los Alamos Science 1 (estío de 1981), págs. 4-27. También me he apoyado en sus recuerdos inéditos, «The Discovery of Universality in Period Doubling».
175 Cuando llegó al Los Álamos Feigenbaum, Carruthers, Cvitanović, Campbell, Farmer, Visscher, Kerrr, Hasslacher, Jen.
176 «Si se establece un comité» Carruthers.
177 El misterio del universo Feigenbaum.
178 A veces un asesor Carruthers.
179 Tal como Kadanoff consideró Kadanoff.
181 «El movimiento incesante» Gustav Mahler, carta a Max Marschalk.
182 «Cuando la luz se cierne» Zür Farbenlehre, de Goethe, ha tenido varias ediciones. He consultado Goethe’s Color Theory, obra bellamente ilustrada, que editó Herb Aach (Nueva York: Van Nostrand Reinhold, 1970); más fácil de consultar es Theory of Colors (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1970), con excelente introducción de Deane B. Judd.
186 Aquella ecuación de aire inocente En un momento dado, Ulam y Von Neumann usaron sus propiedades caóticas para resolver el problema de generar números al azar con un ordenador digital finito.
186 Metropolis, Stein y Stein Ese artículo —único camino que lleva a Stanislaw Ulam y John von Neumann a James Yorke y Mitchell Feigenbaum— es «On Finit Limit Sets for Transformations on the Unit Interval», Journal of Combinatorial Theory 15 (1973), págs. 25-44.
186 ¿Existe un clima? «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations», Tellus 16 (1964), págs. 1-11.
188 Clima de la Tierra Blanca Manabe.
189 No sabía nada de Lorenz Feigenbaum.
191 Robert May recordó más tarde May.
191 Las mismas combinaciones de D e I «On Finite Limit Sets», págs. 30-31. Indicación trascendental: «El hecho de que estas pautas… sean propiedad común de cuatro transformaciones, en apariencia independientes…, propone que la secuencia de las pautas es atributo general de una amplia clase de representaciones gráficas o mapas. Por esa razón la hemos llamado secuencia U, en que U quiere decir (con alguna exageración) “universal”». Los matemáticos jamás sospecharon que la universalidad incluiría los números verdaderos; confeccionaron una tabla de 84 valores de parámetro, cada uno con siete decimales, sin observar las relaciones geométricas que disimulaban.
193 «Toda la tradición de la física» Feigenbaum.
199 Sus amigos sospechaban Cvitanović.
199 De repente se «veía» Ford.
199 Premios y honores La beca MacArthur; el Premio Wolf de Física de 1986.
202 La «feigenbaumología» Dyson.
202 «Fue un descubrimiento muy feliz» Gilmore. 202 En el ínterin Cvitanović.
203 Oscar E. Lanford III Incluso entonces la prueba pecaba de heterodoxa, pues dependían de una cantidad ingente de cálculos, de suerte que no podía efectuarse, ni comprobarse, sin el auxilio de un ordenador. Lanford; Oscar E. Lanford, «A Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures», Bulletin of the American Mathematical Society 6 (1982), pág. 427; también, P. Collet, J. P. Eckmann y O. E. Lanford, «Universal Properties of Maps on an Interval», Communications in Mathematical Physics 81 (1980), pág. 211.
203 «Caballero, ¿nos ofrecerá?» Feigenbaum, «The Discovery of Universality», pág. 17.
203 En el estío de 1977 Ford, Feigenbaum, Lebowitz.
203 «Mitch había visto la universalidad» Ford.
204 «Algo dramático sucedió» Feigenbaum.
El experimentador
207 «Albert está madurando» Libchaber, Kadanoff.
207 Sobrevivió Libchaber.
208 «Helio en una cajita» Albert Libchaber, «Experimental Study of Hydrodynamic Instabilities. Rayleigh-Bénard Experiment: Helium in a Small Box», en Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities, ed. T. Riste (Nueva York: Plenum, 1982), pág. 259.
209 El laboratorio ocupaba Libchaber, Feigenbaum.
211 «La ciencia se edificó» Libchaber.
212 « ¡Claro que se sabe que es así!» Libchaber.
212 «El río manchado» Wallace Stevens, «This Solitude of Cataracts», The Palm at the End of the Mind, ed. Holly Stevens (Nueva York: Vintage, 1972), pág. 321.
213 «Ondulación asólida de lo sólido» «Reality Is an Activity of the Most August Imagination», Ibíd., pág. 396.
214 «Crea riberas» Theodor Schwenk, Sensitive Chaos (Nueva York: Schocken, 1976), pág. 19.
214 «Principio arquetípico» Ibíd.
217 Las desigualdades Ibíd., pág. 39.
217 «Pudiera ser» D’Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, ed. J. T. Bonner (Cambridge: Cambridge University Press, 1961), pág. 8.
217 «Más allá de toda comparación» Ibíd., pág. viii.
218 «Escasean los que se han preguntado» Stephen Jay Gould, Hen’s Teeth and Horse’s Toes (Nueva York: Norton, 1983), pág. 369.
219 «Arraigados ritmos del crecimiento» On Growth and Form, pág. 267.
219 «La interpretación, en términos de fuerza» Ibíd., pág. 114.
221 Fue algo tan sensible Campbell.
222 «Era física clásica» Libchaber.
223 Sin embargo, una frecuencia distinta Libchaber y Maurer, 1980 y 1981. También proporciona un sumario lúcido la introducción de Cvitanović.
225 «La idea de que el movimiento» Hohenberg.
226 Se encontraron rodeados de las partes diseminadas Feigenbaum, Libchaber.
226 «Había que considerarlo» Gollub.
226 Un amplio bestiario de experimentos La bibliografía es asimismo amplia. Un sumario de la fusión inicial de la teoría con el experimento, en una variedad de sistemas, se tiene en Harry L. Swinney, «Observations of Orden and Chaos in Nonlinear Systems», Physica 7D (1983), págs. 3-15. Swinney proporciona una lista de referencias, divididas en categorías, desde osciladores electrónicos y químicos hasta experimentos de género más esotérico.
227 Para muchos fue más convincente Valter Franceschini y Claudio Tebaldi, «Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a FiveMode Truncation on the Navier-Stokes Equations», Journal of Statistical Physics 25 (1981), pág. 1. 228 «Un físico me preguntará» Libchaber.
Imágenes del caos
231 Michael Barnsley conoció Barnsley.
232 «Ruelle me lo devolvió» Barnsley.
233 John Hubbard, matemático estadounidense Hubbard; también Adrien Douady, «Julia Sets and the Mandelbrot Set», págs. 161-73. El texto principal de The Beauty of Fractals proporciona asimismo un sumario matemático del método de Newton, lo mismo que de los campos coincidentes de la dinámica compleja tratada en este capítulo.
233 «Ahora bien, en lo referente a las ecuaciones» «Julia Sets and the Mandelbrot Set», pág. 170.
234 Estaba persuadido Hubbard.
236 Jamás se formó del todo un límite Hubbard; The Beauty of Fractals; Peter H. Richter y Heinz-Otto Peitgen, «Morphology of Complex Boundaries», Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie 89 (1985), págs. 575-88.
237 El conjunto de Mandelbrot Se tiene una introducción amena, con instrucciones para componer personalmente un programa de microordenador, en A. K. Dewdney, «Computer Recreations», Scientific American (julio de 1985), págs. 16-32. Peitgen y Richter ofrecen, en The Beauty of Fractals, una detallada exposición matemática y algunas de las imágenes más espectaculares que existen.
238 «Se obtiene una variedad increíble» «Julia Sets and the Mandelbrot Set», pág. 161.
238 Mandelbrot descubrió, en 1979 Mandelbrot, Laff, Hubbard. Mandelbrot relata el hecho en primera persona en «Fractals and the Rebirth of Iteration Theory», en The Beauty of Fractals, págs. 151-60.
239 Mientras procuraba refinar Mandelbrot; The Beauty of Fractals.
244 No hay en ellos dos partes «juntas» Hubbard.
245 «Era una concepción de líneas rectas» Peitgen.
246 En Cornell, mientras tanto Hubbard.
246 Richter había llegado a los sistemas Richter.
247 «En un área de nuevo cuño como ésta» Peitgen.
247 «El rigor es el alma» Peitgen.
250 Cada cuenca tiene un límite Yorke; buena introducción, para quien tenga aficiones técnicas, es Steven W. MacDonald, Celso Grebogi, Edward Ott y James A. Yorke, «Fractal Basin Boundaries», Physica 17D (1985), págs. 125-83.
250 Un billar romano imaginario Yorke.
252 «Nadie podrá acusarme» Yorke, comentarios en la Conference on Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine, National Institutes of Health, Bethesda, Maryland, 10 de abril de 1986.
252 Más de las tres cuartas partes Yorke.
252 La frontera entre la calma y la catástrofe De modo semejante, en un texto de presentación del caos a los ingenieros, H. Bruce Stewart y J. M. Thompson avisaron: «Aletargado por una falsa sensación de seguridad, nacida de su familiaridad con la respuesta única de un sistema lineal, el analista o experimentador atareado grita “¡Eureka! He aquí la solución”, una vez que la simulación presenta un equilibrio de ciclo estable, sin molestarse en explorar con paciencia el resultado de diferentes condiciones iniciales. Para evitar errores y desastres, potencialmente dañinos, los diseñadores industriales han de apercibirse a destinar mayor esfuerzo a reconocer todo el ámbito de las respuestas dinámicas de sus sistemas». Nonlinear Dynamics and Chaos (Chiches-ter: Wiley, 1986), pág. xiii.
253 «Debiéramos creer» The Beauty of Fractals, pág. 136.
253 Cuando se refirió a ella por escrito Por ejemplo, «Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals», Proceedings of the Royal Society of London A 399 (1985), págs. 243-75.
255 «Si la imagen es complicada» Barnsley.
256 «No existe azar» Hubbard.
256 «La casualidad es un trampantojo» Barnsley.
El colectivo de los sistemas dinámicos
259 Santa Cruz Farmer, Shaw, Crutchfield, Packard, Burke, Nauenberg, Abrahams, Gucuenheimer. Lo esencial de Robert Shaw, en la aplicación de la teoría de la información al caos, es The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Santa Cruz: Aerial, 1984) en compañía de «Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Theory», Zeitschrift für Naturforschung 36a (1981), pág. 80. Una narración de las aventuras con la ruleta de algunos de los estudiantes de Santa Cruz, que retrata muy bien el ambiente de aquellos años, es Thomas Bass, The Eudemonic Pie (Boston: Houghton Mifflin, 1985).
260 Ignoraba por qué había ido Shaw.
260 William Burke, cosmólogo Burke, Spiegel.
261 «Arritmias cósmicas» Edward A. Spiegel, «Cosmic Arrhythmias», en Chaos in Astrophysics, eds. J. R. Buchler y otros (Nueva York: D. Reidel, 1985), págs. 91-135.
261 Los proyectos originales Farmer, Crutchfield.
262 Con distintas combinaciones de circuitos Shaw, Crutchfield, Burke.
263 Minutos después, Shaw supo Shaw.
263 «Cuanto hay que hacer» Abraham.
264 Doyne Farmer Farmer es el protagonista, y Packard su segundón, en The Eudemonic Pie, historia del proyecto de la ruleta, escrita por un antiguo componente del grupo.
265 La física de Santa Cruz Burker, Farmer, Crutchfield.
266 Era un «manitas» Shaw.
269 Había decidido Ford.
269 Juzgaron que podían hacerse Shaw, Farmer.
272 Teoría de la información El texto clásico, muy legible, es Claude E. Shannon y Warren Weaver, The Mathematical Theory of Communication (Urbana: University of Illinois, 1963), con una útil introducción de Weaver.
274 «Cuando encuentra el concepto» Ibíd., pág. 13.
275 Norman Packard, mientras leía Packard.
276 En el mes de diciembre de 1977 Shaw.
278 A. N. Kolmogorov y Yasha Sinai Sinai, entrevista privada.
279 «En el pináculo» Packard.
280 «Nada se ve» Shaw.
280 «Sirve de ejemplo sencillo» Shaw.
280 Los sistemas que el grupo de Santa Cruz Farmer; un medio de estudiar con uno dinámico el sistema inmunológico, simulando la capacidad del cuerpo humano para «recordar» y reconocer las pautas de manera creativa, se delinea en J. Doyne Farmer, Norman H. Packard y Alan S. Perelson, «The Inmune System, Adaptation, and Machine Learning», separata, Los Alamos National Laboratory, 1986.
281 Variable importante The Dripping Faucet, pág. 4.
281 «Una obra maestra del arte» Ibíd.
282 Un «seudocoloquio» Crutchfield.
283 «Da la casualidad de que» Shaw.
284 «Cuando se piensa en una variable» Farmer.
284 Reconstruir el espacio de fases Estos métodos, que llegaron a ser el principal soporte de la técnica experimental en muchas disciplinas, fueron refinados y ampliados por los investigadores de Santa Cruz y otros experimentadores y teóricos. Una de las propuestas esenciales de Santa Cruz se debió a Norman H. Packard, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer y Robert S. Shaw —la nómina canónica—, «Geometry from a Time Series», Physical Review Letters 47 (1980), pág. 712. El artículo más influyente sobre la materia, obra de Floris Takens, fue «Detecting Strange Attractor in Turbulence», Lecture Notes in Mathematics 898, eds. D. A. Rand y L. S. Young (Berlín: Springer-Verlag, 1981), pág. 336. Una revisión anterior, bastante amplia, de las técnicas de reconstrucción de imágenes del espacio de fases es Harold Froehling, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard y Robert S. Shaw, «On Determining the Dimension of Chaotic Flows», Physica 3D (1981), págs. 605-17.
285 ¡Dios mío! Aún hacemos esto Crutchfield.
285 Algunos profesores negaron Por ejemplo, Nauenberg.
285 «No tuvimos consejero» Shaw.
286 Interesaban más al colectivo los sistemas reales Ello no quiere decir que los estudiantes ignorasen los diagramas y gráficos. Crutchfield, inspirado por la obra de May, invirtió mucho tiempo en 1978 en hacer diagramas, y por ello se le prohibió que se acercase a la mesa trazadora del centro de ordenadores: se habían destruido demasiadas plumillas en la operación de marcar millares de puntos.
286 Lanford escuchó con amabilidad Farmer.
286 «Tuvo la culpa de mi ingenuidad» Farmer.
287 «Las ayudas audiovisuales» Shaw.
288 Hubo un día en que Bernardo Huberman Crutchfield, Huberman.
288 «Todo era muy vago» Huberman.
288 El primer artículo Bernardo A. Huberman y James P. Crutchfield, «Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields», Physical Review Letters 43 (1979), pág. 1743.
289 Farmer se encolerizó Crutchfield.
289 Los climatólogos Todavía se mantiene vivo el debate, por ejemplo, en Nature.
289 Los economistas, que analizaban los datos bursátiles Ramsey.
289 La dimensión fractal, la de Hausdorff J. Doyne Farmer, Edward Ott y James A. Yorke, «The Dimension of Chaotic Attractors», Physica7D (1983), págs. 153-80.
289 «El primer nivel de conocimiento» Ibíd., pág. 154.
Ritmos internos
291 Bernardo Huberman miró Huberman, Mandell (entrevistas y observaciones en la Conference on Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine, Bethesda, Maryland, 11 de abril de 1986). También, Bernardo A. Huberman, «A Model for Disfunctions in Smooth Porsuit Eye Movement», separata, Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California.
295 «Hay tres cosas» Abraham. La introducción básica a la hipótesis de Gaia —imaginativa visión dinámica de cómo los sistemas complejos de la Tierra se autorregulan, algo dada de lado por su deliberado antropomorfismo— es J. E. Lovelock, Gaia: A New Look at Life on Earth (Oxford: Oxford University Press, 1979).
296 Los investigadores, reconociendo cada vez más He aquí una selección algo arbitraria de referencias sobre temas fisiológicos (todas tienen citas útiles): Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava y Bruce J. West, «Nonlinear Dynamics of the Heartbeat», Physica 17D (1985), páginas 207-14. Michael C. Mackay y Leon Glass, «Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems», Science197 (1977), pág. 287. Mitchell Lewis y D. C. Rees, «Fractal Surfaces of Proteins», Science (1985), págs. 116365. Ary L. Goldberger y otros, «Nonlinear Dynamics in Heart Failure: Implications of Long Wavelenght Cardiopulmonary Oscillations», American Heart Journal 107 (1984), págs. 612-15. Teresa Ree Chay y John Rinzel, «Bursting, Beating, and Chaos in Excitable Membrane Model», Biophysical Journal 47 (1985), páginas 357-66. Una colección muy amplia y útil de otros artículos análogos es Chaos, ed. Arun V. Holden (Manchester: Manchester University Press, 1986).
297 «Sistema dinámico de interés trascendental» Ruelle, «Strange Attractors», pág. 48.
298 «Los médicos lo reducen a un problema» Glass.
298 «Estamos ante una frontera nueva» Goldberger.
299 Los matemáticos del Courant Institute Peskin; David M. McQueen y Charles S. Peskin, «Computer-Assisted Design of Pivoting Disc Prosthetic Mitral Valves», Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery 86 (1983), págs. 126-35.
300 El paciente de corazón aparentemente sano Cohen.
301 «La tarea de decidir» Winfree.
302 Aportó decidida noción geométrica Winfree expone su visión del tiempo geométrico en los sistemas biológicos en un libro provocativo y bello, When Time Breaks Down: The Three-Dimensional, Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias (Princeton: Princeton University Press, 1987); artículo en que se reseñan las aplicaciones de los ritmos cardíacos de Arthur T. Winfree, «Sudden Cardiac Death: A Problem in Topology», Scientific American 248 (mayo de 1983), pág. 114.
302 «Tenía la cabeza llena» Winfree.
303 «Se va a un mosquito» Winfree.
304 Informó que se sentía en el mejor de los mundos Strogatz; Charles A. Czeisler y otros, «Bright Light Resets the Human Circadian Pacemaker Independent of the Timing of the Sleep-Wake Cycle», Science 233 (1986), págs. 667-70. Steven Strogatz, «A Comparative Analysis of Models of the Human Sleep-Wake Cycle», separata, Harvard University, Cambridge, Massachusetts.
304 El corazón le atrajo Winfree.
304 «Mines decidió» «Sudden Cardiac Death».
306 Sin embargo, lograrlo pide Ideker.
306 «El equivalente cardíaco» Winfree.
306 La intención inmediata de Ideker Ideker.
307 Emplearon diminutos agregados Glass.
307 «El comportamiento dinámico extraño» Michael R. Guevara, Leon Glass y Alvin Schrier, «Phase Locking, Period-Doubling Bifurcations, and Irregular Dynamics in Periodically Stimulated Cardiac Cells», Science 214 (1981), pág. 1350.
308 «Muchos ritmos distintos» Glass,
308 «Es ejemplo evidente» Cohen.
308 «Se han efectuado esas fantásticas» Glass.
309 «Los objetos dinámicos suelen ser» Winfree.
310 «Sistemas que por lo general oscilan» Leon Glass y Michael C. Mackay, «Pathological Conditions Resulting from Instabilities in Physiological Control Systems», Annals of the New York Academy of Sciences319 (1979), pág. 214.
311 «Los procesos fractales» Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava, Bruce J. West y Arnold J. Mandell, «Some Observations on the Question: Is Ventricular Fibrillation “Chaos”», separata.
311 « ¿Será posible?» Mandell.
316 «Se llega al equilibrio con la muerte» Mandell.
316 Mandell ofreció a sus colegas Arnold J. Mandell, «From Molecular Biological Simplification to More Realistic Central Nervous System Dynamics: An Opinion», en Psychiatry: Psychobiological Foundations of Clinical Psychiatry 3:2, eds. J. 0. Cavenar y otros (Nueva York: Lippincott, 1985).
316 «El paradigma subyacente» Ibíd.
317 La dinámica de sistemas Huberman.
317 Tales modelos parecían tener Bernardo A. Huberman y Tad Hogg, «Phase Transitions in Artificial Intelligence Systems», separata, Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California, 1986. También, Tad Hogg y Bernardo A. Huberman, «Understanding Biological Computation: Reliable Learning and Recognition», Proceedings of the National Academy of Sciences 81 (1984), págs. 6871-75.
317 «Asombroso don de concentrar», Erwin Schrödinger, What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press, 1967), pág. 82.
317 «Hasta ahora hemos tratado en física» Ibíd., pág. 5.
El caos y allende
321 « ¿Qué pasó cuando dije aquello?» Ford.
321 «Se rehace todo lo de Feigenbaum» Fox.
322 En cuanto al nombre y la definición (Holmes) SIAM Review 28 (1986), pág. 107; (Hao) Chaos (Singapur: World Scientific, 1984), pág. i; (Stewart) «The Geometry of Chaos», en The Unity of Science, Brookhaven Lecture Series, n.º 209 (1984), pág. 1; (Jensen) «Classical Chaos», American Scientist(abril de 1987); (Crutchfield) conversación privada; (Ford) «Book Reviews», International Journal of Theoretical Physics 25 (1986), n.º 1.
323 A su juicio, el mensaje imperioso Hubbard.
323 Era nombre insuficiente por lo angosto Winfree.
324 «Si usted metiera una sonda» Huberman.
324 «Consideremos de nuevo» Gaia, pág. 125.
324 Los físicos reflexivos P. W. Atkins, The Second Law (Nueva York: W. H. Freeman, 1984), pág. 179. Este excelente libro, de publicación reciente, es una de las contadas exposiciones de la segunda ley que explora el poder creador de la disipación en los sistemas caóticos. Opinión muy personal y filosófica de las relaciones de la termodinámica con los sistemas dinámicos que brinda Ilya Prigogine, Order Out of Chaos: Man’s New Dialogue With Nature (Nueva York: Bantam, 1984).
327 El desarrollo de tales puntas Langer. Es voluminosa la bibliografía reciente sobre el copo de nieve dinámico. Las obras más útiles son: James S. Langer, «Instabilities and Pattern Formation», Reviews of Modern Physics 52 (1980), págs. 1-28; Johann Nittmann y H. Eugene Stanley, «Tip Splitting without Interfacial Tension and Dendritic Growth Patterns Arising from Molecular Anisotropy», Nature 321 (1986), págs. 663-68; David A. Kessler y Herbert Levine, «Pattern Selection in Fingered Growth Phenomena», que aparecerá en Advances in Physics.
331 En el fondo de sus mentes Gollub, Langer.
331 Las ondas de la convección, de figuras tan raras Un interesante ejemplo de este camino al estudio de la formación de pautas es P. C. Hohenberg y M. C. Cross, «An Introduction to Pattern Formation in Nonequilibrium Systems», separata, AT&T Laboratories, Murray Hill, Nueva Jersey.
331 Los expertos en el caos emplean en astronomía Wisdom; Jack Wisdom, «Meteorites May Follow a Chaotic Route to Earth», Nature 315 (1985), págs. 731-33, y «Chaotic Behavior and the Origin of the 3/1 Kirkwood Gap», Icarus 56 (1983), págs. 51-74.
331 Estructuras que se copian Como lo manifestaron Farmer y Packard: «El comportamiento adaptable es propiedad emergente que nace de manera espontánea gracias a la interacción de componentes simples. Sean esos componentes neuronas, aminoácidos, hormigas o tendones, la adaptación sólo ocurre si el comportamiento colectivo del todo es distinto, cualitativamente, de la suma de las partes individuales. Ésta es en sí la definición de lo no lineal». «Evolution, Games, and Learning: Models for Adaptation in Machines and Nature», introducción a las actas de la conferencia, Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory, mayo de 1985.
331 «La evolución es caos» «What is Chaos», pág. 14.
331 «Dios juega a los dados» Ford.
332 «La profesión no puede continuar» Structure, pág. 5.
332 «A la vez estimulante y un poco amenazador» William M. Schaffer, «Chaos in Ecological Systems. The Coals That Newcastle Forgot», Trends in Ecological Systems 1 (1986), pág. 63.
332 «Lo que pasa por conceptos básicos» William M. Schaffer y Mark Kot, «Do Strange Attractors Govern Ecological Systems?», BioScience 35 (1985), pág. 349.
332 Schaffer usa Por ejemplo, William M. Schaffer y Mark Kot, «Nearly One-Dimensional Dynamics in an Epidemic», Journal of Theoretical Biology 112 (1985), págs. 403-27.
333 «Más puntualmente» Schaffer.
333 Años más tarde, Schaffer vivió Schaffer; también William M. Schaffer, «A Personal Hejira», obra inédita.
Muchos científicos tuvieron la generosidad de guiarme, informarme e instruirme. La contribución de algunos será evidente para el lector; pero muchos otros, no citados en el texto o mencionados sólo de paso, me ayudaron igualmente, poniendo a mi disposición su tiempo y su inteligencia. Abrieron sus archivos, registraron su memoria, debatieron entre sí y apuntaron formas de pensar en una ciencia que me eran indispensables. Varios leyeron el manuscrito original. Mi investigación sobre el tema de este libro necesitó de su paciencia y su honradez.
Deseo expresar mi reconocimiento a mi editor, Daniel Frank, cuya imaginación, sensibilidad e integridad aportaron a estas páginas más de lo que puedo expresar. Dependí de Michael Carlisle, mi agente literario, quien me concedió su apoyo, tan certero como entusiástico. En el New York Times, Peter Millones y Don Erikson me auxiliaron de manera decisiva. Entre las personas que colaboraron con ilustraciones figuran Heinz-Otto Peitgen, Peter Richter, James Yorke, Leo Kadanoff, Philip Marcus, Benoît Mandelbrot, Jerry Gollub, Harry Swinney, Arthur Winfree, Bruce Stewart, la familia Fereydoon, Irving Epstein, Martin Glicksman, Scott Burns, James Crutchfield, John Milnor, Richard Voss, Nancy Sterngold y Adolph Brotman. También estoy agradecido a mis padres, Beth y Donen Gleick, que no sólo me educaron correctamente, sino también corrigieron el libro.
Goethe escribió: «Tenemos el derecho de esperar de quien se propone ofrecernos la historia de una ciencia que nos informe de cómo se conocieron gradualmente los fenómenos de que trata, y de lo que se imaginó, conjeturó, se supuso o pensó sobre ellos». Es «asunto aventurado —continuó— pues, en tal empresa, el escritor anuncia de modo tácito al principio que se propone iluminar unas cosas y dejar otras en la sombra. Sin embargo, el autor ha disfrutado durante el cumplimiento de su quehacer…».
Expresamos nuestro agradecimiento por la autorización de reproducir pasajes de las siguientes obras:
- «Ohio» y «The Moons of Jupiter», de Facing Nature, de John Updike. Copyright John Updike, 1985. Con licencia de Alfred A. Knopf, Inc.
- The Character of Physical Law, de Richard Feynman. Copyright The MIT Press. Con licencia del editor, The MIT Press.
- «Thoughts During and Air Raid», de Selected Poems, de Stephen Spender. Copyright Stephen Spender, 1964. Con licencia de Random House, Inc.
- Mathematical Modeling of Biological Systems, de Harvey J. Gold. Copyright John Wiley & Sons, Inc., 1977. Con licencia de John Wiley & Sons.
- «Connoisseur of Chaos», «This Solitude of Cataracts» y «Reality is an Activity of the Most August Imagination», de The Palm at the End of the Mind: Selected Poems and a Play, de Wallace Stevens, editor Holly Stevens. Copyright Holly Stevens, 1967, 1969, 1971. Con licencia de Alfred A. Knopf, Inc.
- Weather Prediction, de L. F. Richardson. Con licencia de Cambridge University Press.
- «The Room» de Collected Poems, de Conrad Aiken. Copyright Conrad Aiken, 1953, 1970; Mary Aiken, 1981. Con licencia de Oxford University Press.
- The Structure of Scientific Revolution, de Thomas Kuhn. Copyright University of Chicago, 1962, 1970. Reservados todos los derechos. Con licencia de The University of Chicago Press.
- «Method in the Physical Sciences», de Collected Works, de John von Neumann, vol. 6. Copyright Pergamon Books Ltd., 1963. Con licencia de pergamon Books Ltd.
Procedencia de las ilustraciones: pág. 34: Edward N. Lorenz/Adolph E. Brotman; pág. 43: Adolph E. Brotman; pág. 45: Adolph E. Brotman; pág. 46: James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman; pág. 67: Irving R. Epstein; pág. 67: H. Bruce Stewart y J. M. Thompson, Nonlinear Dynamics and Chaos (Chichester: Wiley, 1986); pág. 81: Adolph E. Brotman; pág. 89: James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman; págs. 92-93: James P. Crutchfield/ Nancy Sterngold; pág. 96: Robert May; pág. 100: W. J. Youden; pág. 110: Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (Nueva York: Freeman, 1977); pág. 113: Richard F. Voss; pág. 116: Benoît Mandelbrot; pág. 118: Benoît Mandelbrot; pág. 147: Jerry Gollub/Harry Swinney; págs. 154-155: Adolph E. Brotman; pág. 160: Edward N. Lorenz; pág. 163: James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman; pág. 168: Michel Hénon; pág. 171: Japes P. Crutchfield; pág. 194: H. Bruce Stewart, J. M. Thompson/Nancy Sterngold; pág. 210: Albert Libchaber; pág. 215: Theodor Schwenk, Sensitive Chaos, Copyright Rudolf Steiner Press, 1965, con licencia de Schocken Books Inc.; pág. 216: D’Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form (Cambridge: Cambridge University Press, 1961); pág. 223: Predag Cvitanović/Adolph E. Brotman; pág. 224: Albert Libchaber; pág. 235: Heinz-Otto Peitgen/ Peter H. Richter; pág. 238: Heinz-Otto Peitgen y Peter H. Richter, The Beauty of Fractals (Berlín: Springer-Verlag, 1986); págs. 240-241: Benoît Mandelbrot; pág. 251: James A. Yorke; pág. 255: Michael Barnsley; pág. 270: Ralph H. Abraham y Christopher D. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior (Santa Cruz: Aerial, 1984); pág. 287: Arthur Winfree; págs. 312-313: James A. Yorke; págs. 314-315: Theodor Schwenk, Sensitive Chaos; pág. 326: Michael Barnsley; págs. 328-329: Martin Glicksman/Fereydoon Family, Daniel Hall y Tamäs Vicsek.
Procedencia de las ilustraciones en color, encartadas entre las págs. 128 y 129: pág. 1 del encarte: James P. Crutchfield [atractor de Lorenz] y Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature(Nueva York: Freeman, 1977) [curva de Koch]; págs. 2-5: Heinz-Otto Peitgen y Peter H. Richter, The Beauty of Fractals (Berlín: Springer-Verlag, 1986) [conjunto de Mandelbrot]; pág. 6: Scott Burns, Harold E. Benzinger y Julian Palmore [método de Newton]; pág. 7: Richard F. Voss [red de filtración]; pág. 8: National Aeronautic and Space Administration (NASA) [Júpiter] y Philip Marcus [simulación de la Mancha Roja].
Procedencia de las ilustraciones en blanco y negro, situadas entre las págs. 256 y 257: John Milnor.
NOTA: Los números de página se refieren a la edición en papel.
Notas:
[1] La «población», en este modelo tan abstracto, se expresa por conveniencia como una fracción entre cero y uno. El cero representa la extinción, y el uno, la población más numerosa concebible.
Elíjase un valor arbitrario para r —por ejemplo, 2,7—, y una población inicial de 0,02. Uno menos 0,02 es 0,98. Multiplíquese por 0,02 y se obtendrá 0,0196. Multiplíquese esta cifra por 2,7 y el producto será 0,0529. La pequeñísima población inicial se ha doblado sobradamente. Repítase el procedimiento, usando como simiente la nueva población, y se conseguirá 0,1353. Con una máquina calculadora programable, de escaso precio, la iteración se reduce a oprimir el mismo botón repetidas veces. La población se eleva a 0,3159, luego a 0,5835, después a 0,6562… El ritmo de aumento se hace más pausado. Más tarde, cuando el hambre afecta a la reproducción, 0,6092. Después, 0,6428, 0,6199, 0,6362 y 0,6249. Los números parecen saltar adelante y atrás, pero se aproximan a uno fijo: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6298, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6298. ¡Éxito!
En los días en que las operaciones aritméticas se efectuaban con lápiz y papel, y en aquellos en que las máquinas de cálculo se movían con manivelas, la exploración numérica jamás fue mucho más lejos.
[2] Con un parámetro, por ejemplo, de 3,5, y un valor inicial de 0,4, encontraba una sarta de números como éstos:
0,4000, 0,8400, 0,4704, 0,8719,
0,3908, 0,8332, 0,4862, 0,8743,
0,3846, 0,8284, 0,4976, 0,8750,
0,3829, 0,8270, 0,4976, 0,8750,
0,3829, 0,8270, 0,5008, 0,8500,
0,3828, 0,8269, 0,5009, 0,8500,
0,3828, 0,8269, 0,5009, 0,8500,
[3] Un programa del conjunto de Mandelbrot requiere pocas piezas esenciales. Lo principal es un bucle de circuito cerrado de instrucciones que aplica la regla aritmética a su número complejo inicial. Para el conjunto de Mandelbrot, la regla es ésta: z → z2 + c, en que z comienza en cero y c es el número complejo correspondiente al punto que se comprueba. Por lo tanto, tómese 0, multiplíquese por él mismo, y añádase el número inicial; tómese el resultado —el número inicial—, multiplíquese por él mismo, y añádase el número inicial; tómese el nuevo resultado, multiplíquese por él mismo y añádase el número inicial. Las operaciones aritméticas con números complejos son sencillas y directas. Un número complejo se expresa con dos partes, como, por ejemplo, 2 + 3i (la situación del punto en 2 este y 3 norte en el plano complejo). Para sumar un par de números de esta clase, hay que adicionar las partes reales para obtener otra real, y las imaginarias, para obtener una nueva parte imaginaria:
Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada parte de uno por cada parte de otro, y se suman los cuatro resultados. Como i multiplicado por sí mismo es igual a −1, por la definición original de los números imaginarios, un término del resultado colapsa en otro.
Para romper este bucle, el programa necesita vigilar el total en funcionamiento. Si se dirige al infinito, alejándose cada vez más del centro de plano, el punto original no pertenece al conjunto; y si el total en funcionamiento es mayor que 2 o menor que −2, tanto en la parte real como en la imaginaria, se encamina sin duda alguna al infinito, y el programa puede seguir adelante. Pero, si repite el cálculo muchas veces, sinllegar a ser mayor de 2, el punto pertenece al conjunto. Cuántas veces depende de la magnitud de la ampliación. En las escalas accesibles a un ordenador personal, 100 o 200 bastan a menudo, y 1.000 no pueden fracasar.
El programa tiene que repetir este proceso para cada uno de los millares de puntos de la rejilla, con una escala susceptible de mayor ampliación. Y el programa ha de mostrar el resultado. Los puntos de un conjunto pueden colorearse de blanco unos, y de rojo otros. O, con el fin de que la imagen sea mucho más atractiva, los puntos blancos se sustituyen con matices de color. Si la iteración se interrumpe, por ejemplo, al cabo de diez repeticiones, el programa puede marcar un punto encarnado; si a las veinte, uno anaranjado; si a las cuarenta, uno amarillo, etc. La elección de los colores y las interrupciones que sirven de señal para empezar a utilizar uno de ellos, dependen del gusto del programador. Los colores revelan los contornos del terreno que hay en el exterior del conjunto propiamente dicho.
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